Расчет статически неопределимого стержня на кручение. Кручение статически неопределимого стержня. Варианты расчетных схем к задаче на кручение стержня круглого сечения для самостоятельного решения

Рассмотрим расчет статически неопределимой системы на кручение на конкретном примере.

Пример . Определить из расчета на прочность при допускаемое значение скручивающего момента для вала, жестко защемленного обоими концами и нагруженного, как показано на рис. 10.8, а.

Рис. 10.8. Схема статически неопределимого вала

В заделках возникают реактивные моменты m A и m B (рис. 10.8, а). Составим уравнение равновесия относительно продольной оси вала:

Таким образом, задача является один раз статически неопределимой – одно уравнение статики и два неизвестных реактивных момента. Для составления уравнения перемещений отбросим правую заделку, заменив ее действие на вал неизвестным реактивным моментом . Полученная таким образом статически определимая система (рис. 10.8, б) эквивалентна заданной, и, следовательно, угол поворота сечения B равен нулю:

Применяя принцип независимости действия сил, запишем уравнение перемещений для сечения B в виде

При действии только момента m 1 угол поворота сечения В равен углу закручивания участка АС , т. е.

Аналогично при действии только момента m 2:

При действии только момента m B = X имеем:

Для упрощения вычислений выразим

Подставляя значения углов поворота в уравнение совместности деформаций и учитывая последнее равенство, получаем:

Подставляя значение Х в уравнение равновесия, найдем:

После раскрытия статической неопределимости эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания строятся обычным способом. Эта эпюры представлена на рис. 10.8, в, г, д.

Опасными являются сечения участка ВЕ . Следует отметить, что сечения, в которых возникают наибольшие крутящие моменты (участок АС ), в данном случае менее опасны.

Запишем условие прочности:

Расчет цилиндрических винтовых пружин

С малым шагом витков

Во многих механизмах и машинах, например в рессорах вагонов и автомобилей, применяют винтовые пружины. Эти пружины навивают из проволоки круглого поперечного сечения, изготовленной из специальных марок стали. При проектировании таких пружин необходимо уметь вычислять наибольшие напряжения (для проверки на прочность) и определять деформацию пружины (ее удлинение или прогиб). Точный расчет винтовых пружин достаточно сложен, так как материал пружины испытывает одновременно кручение, сдвиг, изгиб и растяжение.

Пружина с малым шагом витков – это такая пружина, у которой угол между плоскостью, перпендикулярной к оси пружины, и плоскостью витка не превышает 14º.

Пусть винтовая пружина растягивается (или сжимается) силами F , имеет средний диаметр D = 2R и изготовлена из проволоки диаметром d (рис. 10.9, а). Для определения внутренних усилий в пружине применим метод сечений.

Рис. 10.9. Схема винтовой пружины с малым шагом витков

Верхняя часть пружины (рис. 10.9, б) будет находиться в равновесии под действием внешней силы F и внутренних усилий в проведенном сечении прутка, которые можно представить суммой силы F и крутящего момента М кр .

Считая, что угол наклона витка , можно пренебречь остальными силовыми факторами (продольной силой и изгибающим моментом). Материал пружины испытывает срез и кручение.

Сила вызывает в поперечном сечении касательные напряжения , которые определяются по формуле

Считаем, что касательные напряжения распределяются по сечению равномерно (рис. 10.9, г).

Максимальные касательные напряжения от кручения равны:

Распределение касательных напряжений от кручения показано на рис. 10.9, в.

Опасной точкой на контуре сечения является точка А , в которой направления касательных напряжений совпадают. Таким образом, максимальные касательные напряжения равны:

Так как и на практике то часто действием пренебрегают.

Условие прочности для пружин малой кривизны (приближенный расчет):

Условие прочности для пружин малой кривизны:

Из формул для определения следует, что увеличение диаметра пружины D уменьшает ее прочность, а увеличение диаметра проволоки d – увеличивает.

При определении деформации пружины будем учитывать только кручение витков.

Изменение длины пружины вдоль оси под действием внешней нагрузки называется осадкой пружины λ

где n – число витков;

G – модуль сдвига.

Зависимость осадки λ от осевой нагрузки F называется характеристикой пружины. Обычные пружины имеют линейную характеристику.

Усилие F , при котором перемещение λ равно единице (1 м), называется жесткостью пружины с , которая определяется по формуле

размерность жесткости кН/м.

Итак, увеличение числа витков n и диаметра пружины D уменьшает жесткость пружины, а увеличение диаметра проволоки d повышает жесткость пружины.

Пример расчета

Задача 1. Для заданной схемы (рис. 10.10, а) определить значение m и построить эпюру крутящих моментов.

Решение.

1. Методом сечений на каждом участке вала определяем значение крутящего момента.

Рис. 10.10. Схема вала для построения эпюры

крутящих моментов

1-й участок . Рассмотрим равновесие левой отсеченной части вала. Составим уравнение равновесия:

На 1-м участке имеет отрицательное значение, так как со стороны внешней нормали к отсеченной части вращается по часовой стрелке.

2-й участок:

3-й участок:

с другой стороны:

2. Эпюра с учетом знаков построена на рис. 10.10, б.

Задача 2. Вал круглого поперечного сечения диаметром d = 40 мм скручивается моментами m 1 = 0,6 кНм, m 2 = 1,2 кНм и m 3 = 0,8 кНм (рис. 10.11, а). Проверить прочность вала и определить абсолютный угол закручивания концевого сечения, если [τ ] = 80 МПа, G = = 8×10 4 МПа.

Рис. 10.11. Схема вала круглого поперечного сечения

Решение.

1. Методом сечений строим эпюру крутящих моментов (рис. 10.11, б).

2. Определим геометрические характеристики поперечного сечения вала:

3. Проверяем прочность вала:

4. Определяем абсолютный угол закручивания концевого сечения:

Задача 3. Построить эпюру углов закручивания для ступенчатого стального вала, нагруженного, как показано на рис. 10.12, а. G = = 8×10 4 МПа.

Решение.

1. Определим геометрические характеристики сечений каждой ступени вала:

Рис. 10.12. Схема ступенчатого вала

2. Построим эпюру крутящих моментов (рис. 10.12, б).

3. Определим углы закручивания в характерных сечениях вала по формуле

Изображена на рис. 10.12, в.

Задача 4. Определить внутренний и наружный диаметры полого стального вала, передающего мощность N = 100 кВт и вращающегося с угловой скоростью ω = 80 рад/с, если [τ ] = 60 МПа; α = d /D = 0,6, [θ ] = 45×10 –4 рад/м, G = 8×10 4 МПа.

Решение.

1. Определим крутящий момент на валу:

2. Из условия прочности определим момент сопротивления сечения вала:

3. Определим наружный диаметр вала из условия жесткости:

4. Принимаем D = 80 мм, d = 48 мм.

Задача 5. Вал диаметром 90 мм передает мощность N = 80 кВт. Определить предельное число оборотов вала, если [τ ] = 60 МПа.

Решение.

1. Определим момент сопротивления поперечного сечения вала:

2. Из условия прочности определим крутящий момент на валу:

3. Определим предельное число оборотов вала:

Задача 6. Какую мощность может передать вал, вращающийся с угловой мощностью ω = 20 рад/с, диаметром d = 100 мм при допускаемом напряжении [τ ] = 60 МПа и допускаемом угле закручивания
[θ ] = 45 × 10 –4 рад/м. Модуль сдвига G = 8 × 10 4 МПа.

Решение .

1. Определим геометрические характеристики поперечного сечения вала:

2. Передаваемая валом мощность определяется по формуле

3. Из условия прочности имеем:

Из условия жесткости:

Принимаем

Задача 7. d = 6 мм, имеет n = 10 витков. Диаметр пружины D = 66 мм. Пружина растягивается осевыми силами F = 300 Н. Проверить прочность пружины, если [τ ] = 240 МПа. Определить удлинение и жесткость пружины и накапливаемую потенциальную энергию.
G = 8 × 10 4 МПа.

Решение.

1. Определим поправочный коэффициент:

2. Определим касательные напряжения, возникающие в поперечных сечениях прутка пружины:

3. Определим удлинение пружины под действием внешней нагрузки:

4. Определим жесткость пружины:

5. Определим потенциальную энергию деформации:

Задача 8. Стальная цилиндрическая пружина сжимается осевыми силами F (рис. 10.13). Пружина навита из проволоки диаметром d = 5 мм, с шагом t = 10 мм и имеет диаметр D = 30 мм. Определить значение сил F , при которых будет достигнута ее предельная осадка. G = 8 × 10 4 МПа.

Рис. 10.13. Схема пружины, сжатой осевыми силами

Решение.

1. Запишем условие жесткости пружины при сжатии:

2. Определим предельное значение сил F :

10.7. Задачи для самостоятельного решения

Задача 9. Для заданной схемы нагружения вала (рис. 10.14) построить эпюру крутящих моментов.

Рис. 10.14. Схема вала для построения эпюры крутящих моментов

Задача 10. Для заданного ступенчатого вала (рис. 10.15) построить эпюру крутящих моментов.

Рис. 10.15. Схема ступенчатого вала для построения эпюры

крутящих моментов

Задача 11. К валу постоянного сечения диаметром d = 50 мм (рис. 10.16) приложены моменты m 1 = 1 кНм, m 2 = 0,2 кНм, m 3 = 0,4 кНм и m 4 = 0,4 кНм. Проверить прочность вала, если [τ ] = 60 МПа. Определить полный угол закручивания, если G = 8 × 10 4 МПа.

Рис. 10.16. Схема вала постоянного сечения

Задача 12. Цилиндрическая пружина, изготовленная из стальной проволоки диаметром d = 5 мм, растягивается силами F = 400 Н. Диаметр пружины D = 30 мм. Проверить прочность пружины, если [τ ] = 500 МПа. Определить число витков пружины, при котором она удлиняется на 40 мм. G = 8 × 10 4 МПа.

Задача 13. Определить требуемый диаметр проволоки винтовой цилиндрической пружины для осевой нагрузки F = 1,2 кН, если D /d = 6 и [τ ] = 500 МПа.

Задача 14. Для заданной схемы нагружения (рис. 10.17) определить диаметры проволоки для обеих пружин, если D 1 /d 1 = D 2 /d 2 = 8 и [τ ] = = 600 МПа.

Рис. 10.17. Схема бруса, подвешенного на двух пружинах

10.8. Контрольные вопросы

1. Какой вид нагружения называется кручением?

2. Что называется валом? Что такое крутящий момент?

3. Какие деформации возникают при кручении?

4. Какие внутренние силовые факторы возникают при кручении?

5. Вывести формулу для определения напряжений в поперечном сечении скручиваемого круглого вала.

6. Вывести формулы для определения относительного и полного углов закручивания круглого вала.

7. Что такое эпюра крутящего момента и как она строится?

8. Как распределяется касательное напряжение при кручении? Чему равно напряжение в центре круглого поперечного сечения?

9. Написать формулу для расчета напряжения на поверхности вала при кручении. Как изменится напряжение, если диаметр вала увеличится в два раза?

10. В чем заключается расчет на прочность при кручении?

11. В чем заключается расчет на жесткость при кручении?

12. Почему при одинаковой прочности и жесткости вал кольцевого поперечного сечения легче, чем вал сплошного круглого сечения?

13. Как вычислить потенциальную энергию деформации, накапливаемую валом при кручении?

14. Расчет статически неопределимых валов.

15. Расчет цилиндрических пружин с малым шагом витков. Что такое осадка и жесткость пружины, как они определяются?

Сложное сопротивление

Статически неопределимые задачи на кручение

При кручении, так же как и при растяжении, встречаются задачи, решение которых не может быть получено с помощью одних только уравнений равновесия. Число неизвестных в таких задачах превышает число уравнений равновесия. Порядок решения таких задач тот же самый, что и при решении статически неопределимых задач на растяжение - сжатие.

брус стержень деформация кручение

Отсюда определяем TA и подставляем в для определения TB

Кручение тонкостенного бруса замкнутого профиля.

Значительно более жесткими и поэтому более целесообразными при кручении являются тонкостенные стержни замкнутого профиля.

Рассмотрим цилиндрический стержень, поперечное сечение которого имеет достаточно общую форму.

t - меняется достаточно медленно

Геометрическое место точек, равноотстоящих от внешнего и внутреннего контуров поперечного сечения, называются средней линией сечения.

Возникающие при кручении касательные напряжения постоянны по толщине и направлены по касательной к средней линии.

Произведение касательного напряжения на толщину есть величина, постоянная для всех точек средней линии сечения.

Спроецируем все силы на направление оси стержня.

На внешней поверхности нагрузки отсутствуют, и следовательно, по закону парности касательных напряжений.

2. Касательные напряжения во внешних углах обращаются в нуль.

Парные касательных напряжений, действующие на внешней поверхности должны быть равны нулю. Следовательно, и

Решение, полученное методами теории упругости, для бруса прямоугольного сечения имеет следующую эпюру

Стержни, работающие на кручение за пределами упругости

Конструкция потеряет несущую способность при кручении в том случае, когда сечения первого и второго участков будут полностью охвачены пластическими деформациями.

Т.е. Т1 = Т1u Т2 = Т2u

Из условий равновесия Тu = T1u + T2u

Для определения T1u и T2u рассмотрим конкретные формы поперечного сечения

Круглое сечение

Кольцевое сечение

Тонкостенное сечение ()

площадь, ограниченная средней линией контура

Квадратное сечение

См. песочная аналогия

где V - объём поверхности постоянного ската с углом 450

Примечание: При нескольких внешних моментах необходимо рассмотреть несколько кинематически возможных состояний.

Свяжем Т с касательными напряжениями.

Элементарный момент относительно точки О.

где интегрирование распространяется на всю длину контура s.

Определить наибольшее напряжение в трубчатом стержне, если Т=1500 Н.м

Мембранная аналогия при кручении

Задача о кручении бруса сводится к тому же дифференциальному уравнению, что и задача о равновесии пленки, натянутой на контур того же очертания и нагруженной равномерно распределенным давлением.

Аналогом напряжения является угол, который составляет касательная к поверхности пленки с поверхностного контура.

Т - Аналогом крутящего момента является объем, заключенный между плоскостью контура и поверхностью пленки.

Характер деформации пленки под действием давления можно представить хотя бы ориентировочно. Таким образом, всегда имеется возможность представить и закон распределения напряжений при кручении бруса с заданной формой сечения.

При помощи мембранной аналогии можно получить не только качественные, но и колличественнные соотношения. Для этого используется не сложный прибор, который замеряет прогибы с помощью микрометра. Использование гидростатического давления жидкости для нагружения мембраны позволяет определить крутящий момент по объему жидкости между мембраной и плоскостью. Для тарировки приборов такого типа могут быть использованы простейшие поперечные сечения, для некоторых известны аналитические решения.

ПРИ КРУЧЕНИИ (ЗАДАЧА № 11)

Условие задачи

Стальной вал круглого поперечного сечения состоит из трех участков с различными полярными моментами инерции (рис. 3.6, а ). Концы вала жестко закреплены от поворота относительно продольной оси вала. Заданы нагрузки: пары сил и , действующие в плоскости поперечного сечения вала; отношения полярных моментов инерции участков вала и ; длины участков , , .

Требуется:

1) построить эпюру крутящих моментов;

2) подобрать размеры поперечных сечений из условия прочности;

3) построить эпюру углов закручивания.

Решение

Ввиду наличия двух жестких опорных закреплений под действием нагрузки в каждом из них возникают реактивные пары и . Составив условие равновесия вала

убеждаемся в том, что записанное уравнение не может быть решено однозначно, поскольку содержит две неизвестные величины: и . Остальные уравнения равновесия при данной нагрузке выполняются тождественно. Следовательно, задача является один раз статически неопределимой.

Для раскрытия статической неопределимости составим условие совместности деформаций. Вследствие жесткости опорных закреплений концевые сечения вала не поворачиваются. Это равносильно тому, что полный угол закручивания вала на участке А–В равен нулю: , или .

Последнее уравнение и есть условие совместности деформаций. Для его связи с уравнением равновесия запишем физические уравнения, связывающие крутящие моменты и углы закручивания (3.3) (закон Гука при кручении), для каждого участка стержня:

, , .

Подставив физические соотношения в условие совместности деформаций, находим реактивный момент , а затем из уравнения равновесия определяем . Эпюра крутящих моментов показана на рис. 3.6, б .

Для решения задачи о подборе сечения запишем формулы для определения максимальных касательных напряжений (3.5) на каждом участке вала:

; ; .

Коэффициенты и , представляющие собой отношения полярных моментов сопротивления сечений второго и третьего участков вала к полярному моменту сопротивления сечения первого участка , определим через известные параметры и .

Полярный момент инерции может быть записан двояким образом:

; ,

где , - радиусы первого и второго участков стержня. Отсюда выразим радиус через :

Тогда полярный момент сопротивления второго участка

,

то есть . Аналогично .

Теперь можно сравнить между собой максимальные касательные напряжения на отдельных участках и для наибольшего из них записать условие прочности (3.13). Из этого условия находим требуемый полярный момент сопротивления , и затем, используя формулу (3.8), радиусы вала на каждом участке.

; ; .

Для построения эпюры углов закручивания вычислим углы закручивания на каждом участке стержня по формуле (3.3). Ординаты эпюры получаются последовательным суммированием результатов для отдельных участков, начиная с одного из концов вала. Контролем правильности решения является равенство нулю угла закручивания на другом конце вала Вид эпюры углов закручивания показан на рис. 3.6, в .

Для конструкции, имеющей жесткий стержень, рациональным уравнением равновесия, в которое входит одно неизвестное усилие, является уравнение , где А – шарнир, вокруг которого поворачивается жесткий стержень.

Как видно из названия, этот способ применим к конструкциям, стержни которых выполнены из пластичного материала.

Очевидно, что связь между деформациями стержней будет такой же, как и в первой части задачи, поэтому уравнение совместности деформаций в третьей части задачи можно записать, используя ранее полученное уравнение, заменив в нем на .

При решении этой задачи студенты заочной формы обучения выполняют только расчет по предельному пластическому состоянию. Остальные студенты решают задачу № 6 в соответствии с требованием преподавателя. Пункт 2, отмеченный значком *, не является обязательным и выполняется по желанию студента.

Современные нормы строительного проектирования предусматривают более сложный подход (введение отдельных коэффициентов запаса на нагрузку, свойства материала, условия работы конструкции). С этим студент познакомится при изучении курсов металлических, железобетонных и других конструкций.

4.4. Статически неопределимые задачи кручения

Такие задачи обычно возникают, если перемещение вала ограничено в некоторых сечениях, например, (рис. 4.9), когда его концы защемлены. В

одно уравнение равновесия: :

входят два неизвестных момента в опорах, поэтому задача является статически неопределимой. Для ее решения составим дополнительное уравнение перемещений. Рассмотрим перемещения (углы поворота) сечений, являющихся границами участков вала..gif" width="99" height="27 src=">.

https://pandia.ru/text/78/579/images/image007_54.gif" width="99 height=26" height="26">.

Так как сечение вала защемлено, то , откуда: https://pandia.ru/text/78/579/images/image011_42.gif" align="left" width="258" height="186">

Потенциальная деформация деформации участка вала длиной dz будет:
Так как при кручении τ = (МК / IР) r, то

Сокращая на IР, получим выражение для потенциальной энергии деформации при кручении

4.6 . Кручение стержней некруглого поперечного сечения

https://pandia.ru/text/78/579/images/image018_20.gif" align="left" width="324" height="237 src="> При кручении стержней (валов) не круглого и не - кольцевого поперечных сечений, не выполняются допущения, принятые при кручении круглых и кольцевых валов: плоские поперечные сечения стержня не остаются плоскими при кручении, а депланируют (искривляются); прямые радиусы, проведенные в плоских сечениях, искривляются; рассто-яние между сечениями изменяется (рис. 4Если стержень постоянного сечения по всей длине негде не защемлен и закручивающие моменты, расположены на его концах, то все сечения депланируют одинаково, и нормальные напряжения не возникают. Такое кручение называется свободным. Однако, с достаточной для практических целей точностью, для некруглых стержней можно пользоваться формулами, выведенными для круглого стержня, заменив и https://pandia.ru/text/78/579/images/image021_17.gif" width="23" height="27 src=">- момент инерции при кручении, и -момент сопротивления при кручении.

https://pandia.ru/text/78/579/images/image024_18.gif" width="90" height="49">, ,

Для прямоугольного поперечного сечения (рис. 4.12)

https://pandia.ru/text/78/579/images/image027_17.gif" width="87" height="29 src=">.

Здесь и - зависят от отношения .

Коэффиценты.	Отношение большей стороны сечения к меньшей .

Дифференциал" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">дифференциальному уравнению, что и задача о равновесии тонкой пленки, натянутой на контур того же очертания, что и контур поперечного сечения стержня и нагруженной равномерно распределенным давлением. Аналогом напряжения является угол, который составляет касательная к поверхности пленки с плоскостью контура, а аналогом крутящего момента - объем, заключенный между плоскостью контура и поверхностью пленки. На рис. 4.13,а показано поведение пленки под давлением, на рис. 4.13,б приведено качественное распределение напряжений при кручении стержня сложного профиля. С помощью специального прибора и тарированной пленки можно получить и количественные результаты. Для этого, чтобы учесть жесткость пленки, такой же эксперимент проводят с круглым отверстием, откуда и получают необходимую жесткость пленки, так как решение в этом случае можно получить точно.

4.7. Свободное кручение тонкостенных стержней

Тонкостенными называют стержни, у которых один размер поперечного сечения - толщина профиля , меньше другого - длины контура поперечного сечения s. Стержни бывают открытого (рис. 4.14) и замкнутого (рис. 4.15) профилей. Используем мембранную аналогию. Характер поведения пленки и, соответственно, касательных напряжений в тонкостенных стержнях открытого и замкнутого профилей принципиально разный (рис. 4.16 и рис. 4Если стержень открытого профиля выпрямить в длинный прямоугольник, то форма пленки не изменится.

Тогда для прямоугольного сечения при , имеем: ,..gif" width="22" height="25"> прямоугольников, то

..gif" width="42" height="26">.

Расчётная схема и эпюры

Решение

Обозначим продольную ось z, точки A и B, номера участков 1, 2, 3. Концы стержня защемлены, поэтому возникают реактивные моменты M A и M B , которые необходимо вычислить. Количество неизвестных опорных реакций равно двум, а уравнение статики для данной системы сил единственное:

M A – M 1 + M 2 – M B = 0. (1)

Поэтому данная система один раз статически неопределима. Кроме уравнения (1) требуется составить еще одно уравнение, содержащее те же неизвестные M A и M B . С этой целью поступим следующим образом. Отбросим правое защемление, но его влияние заменим моментом M B , пока неизвестным по величине и направлению. Таким образом, получим расчётную схему 2), эквивалентную исходной схеме 1). Теперь к стержню приложены три нагрузки: M 1 , M 2 , M B в виде моментов, в том числе и искомый – M B . Поскольку правый конец стержня защемлён, угол поворота этого сечения вокруг продольной оси стержня должен быть равным нулю, т.е. . Такой поворот в точке B является результатом действия трех силовых факторов: M 1 , M 2 , M B .

По принципу независимости действия сил угол поворота сечения B можно сначала подсчитать от каждого момента и результаты затем просуммировать. Поступая так, получим второе уравнение, дополняющее (1):

При составлении этого уравнения учтено, что момент M 1 закручивает лишь первый участок стержня, момент M 2 – участки 1 и 2, а момент M B – все три участка. Сократим левую часть уравнения (2) на и G и получим

Уравнения (1) и (3) образуют систему для определения M A и M B . Для её решения сначала необходимо определить моменты инерции J , J , J .

Первый участок стержня представляет собой полый цилиндр. Для его сечения

Второй участок стержня имеет прямоугольное поперечное сечение. Его момент инерции при кручении

J (5)

Здесь – табулированный коэффициент, зависящий от соотношения сторон прямоугольника. Для заданного соотношения h/b = 2,0 значение берётся из таблицы.

Формула (5) даёт результат

J . (6)

Сечение стержня второго участка – сплошное круглое. Поэтому

(7)

Значения крутящих моментов и найденные значения моментов инерции сечений подставляем в (3)

Сокращаем во всех слагаемых b 4 , проводим несложные арифметические подсчёты и получаем

После преобразований уравнение принимает вид

14,89 M B = 17,78.

Отсюда имеем

M B = 1,194кНм.

Из уравнения (1) находим реактивный момент в защемлении левого конца:

M A = M 1 – M 2 + M B = 6 – 7 + 1,194 = 0,194кНм.

Теперь можно приступить к построению эпюры крутящих моментов. В произвольном месте каждого участка стержня проведём сечения 1–1, 2–2, 3–3.

Возьмем левую отсечённую часть и покажем крутящий момент в сечении M . Хотя его направление можно выбирать произвольно, лучше избрать положительное направление, т.е. такое, чтобы при взгляде в торец отсечённой части он был виден направленным против хода часовой стрелки.

Весь стержень находится в равновесии. Значит, и любая отсечённая часть должна быть в равновесии. Следовательно, можно записать уравнение равновесия:

Отсюда имеем

Сечение 2–2

Сечение 3–3

кНм.

По итогам вычислений строим эпюру крутящих моментов. Размеры поперечного сечения стержня необходимо находить из условия прочности

(8)

Здесь i– номер участка. Левая часть неравенства есть наибольшее значение касательного напряжения по модулю для всего стержня. Правая часть – допускаемое напряжение для материала по касательным напряжениям. Установим их. Для каждого участка найдем максимальное касательное напряжение по общей формуле

Крутящие моменты уже найдены. Определим моменты сопротивления при кручении:

Ввторой формуле – табулированный коэффициент, зависящий от соотношения сторон прямоугольника. Для заданного соотношения h/b = 2,0 значение взято из таблицы.

Для каждого участка определяем локальные максимумы касательных напряжений:

(9)

(10)

(11)

Из сравнения результатов видим, что опасными являются сечения второго участка.

Допускаемое касательное напряжение

.