Приращение функции определение производной. Производная. Нахождение интервалов возрастания и убывания функции

Производной функции называется базовый элемент в дифференциальном исчислении. Этот элемент и является определенным результатом применения какой-то определенной операции дифференцирования по отношению к исходной функции.

Определение производной

Для того, чтобы понять, что такое производная, необходимо знать, что название функции происходит непосредственно от слова «произведенная», то есть образовавшаяся от другой какой-либо величины. При этом сам процесс определения производной какой-то определенной функции имеет название - «дифференцирование».

Наиболее распространенный метод представления и определения, при использовании теории пределов, несмотря на то, что она появилась гораздо позже дифференциальных исчислений. По определению данной теории, производной называется предел в отношении приращения функций к приращению аргумента, в случае если таковой предел имеется, и при условии, что данный аргумент стремится к нулевому значению.

Рассмотренный ниже небольшой пример поможет наглядно понять, что такое производная.

1. Для поиска производной функции f в точке х, нам нужно определить значения данной функции непосредственно в точке х, а так же в точке х+Δх. Причем Δx – это приращения аргумента х.
2. Найти приращение для функции у приравненное к f(х+Δх) – f(х).
3. Записать производную при помощи предела отношения f’ = lim(f(x+Δх) – f(x))/Δх, исчислить при Δх → 0.

Обычно производная обозначается знаком апострофа - «’» непосредственно над дифференцируемой функцией. Обозначение в виде одного апострофа обозначает первую производную, в виде двух – вторую. Производную наивысшего порядка принято задавать соответствующей цифрой, к примеру f^(n) – что означает производную n-го порядка, где буква «n» – целое число, которое? 0. Производная нулевого порядка - это и есть сама дифференцируемая функция.

С целью облегчения дифференцирования усложненных функций, были разработаны и приняты определенные правила дифференцирования функций:

• С’ = 0, где С – обозначение константы;
• х’ равняется 1;
• (f + g)’ приравнивается f’ + g’;
• (С*f)’ приравнено C*f’ и так далее.
• Для N-кратного дифференцирования удобнее применять формулу Лейбница в виде: (f*g) (n) = Σ C(н) k *f (н-k) *g к, в которой С(н) к – обозначения биномиальных коэффициентов.

Производная и геометрия

Геометрическое осмысление производной заключается в том, что если для функции f имеется конечная производная в пункте х, то значение данной производной будет равняться тангенсу угла от наклона в касательной к функции f в данной точке.

{\large\bf Производная функции}

Рассмотрим функцию y=f(x) , заданную на интервале (a, b) . Пусть x - любое фиксированная точка интервала (a, b) , а Δx - произвольное число, такое, что значение x+Δx также принадлежит интервалу (a, b) . Это число Δx называют приращением аргумента.

Определение . Приращением функции y=f(x) в точке x , соответствующим приращению аргумента Δx , назовем число

Δy = f(x+Δx) - f(x) .

Считаем, что Δx ≠ 0 . Рассмотрим в данной фиксированной точке x отношение приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента Δx

Это отношение будем называть разностным отношением. Так как значение x мы считаем фиксированным, разностное отношение представляет собой функцию аргумента Δx . Эта функция определена для всех значений аргумента Δx , принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точки Δx=0 , за исключением самой точки Δx=0 . Таким образом, мы имеем право рассматривать вопрос о существовании предела указанной функции при Δx → 0 .

Определение . Производной функции y=f(x) в данной фиксированной точке x называется предел при Δx → 0 разностного отношения, то есть

При условии, что этот предел существует.

Обозначение . y′(x) или f′(x) .

Геометрический смысл производной : Производная от функции f(x) в данной точке x равна тангенсу угла между осью Ox и касательной к графику этой функции в соответствующей точке:

f′(x 0) = \tgα .

Механический смысл производной : Производная от пути по времени равна скорости прямолинейного движения точки:

Уравнение касательной к линии y=f(x) в точке M 0 (x 0 ,y 0) принимает вид

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0) .

Нормалью к кривой в некоторой ее точке называется перпендикуляр к касательной в той же точке. Если f′(x 0)≠ 0 , то уравнение нормали к линии y=f(x) в точке M 0 (x 0 ,y 0) записывается так:

Понятие дифференцируемости функции

Пусть функция y=f(x) определена на некотором интервале (a, b) , x - некоторое фиксированное значение аргумента из этого интервала, Δx - любое приращение аргумента, такое, что значение аргумента x+Δx ∈ (a, b) .

Определение . Функция y=f(x) называется дифференцируемой в данной точке x , если приращение Δy этой функции в точке x , соответствующее приращению аргумента Δx , может быть представимо в виде

Δy = A Δx +αΔx ,

где A - некоторое число, не зависящее от Δx , а α - функция аргумента Δx , являющая бесконечно малой при Δx→ 0 .

Так как произведение двух бесконечно малых функций αΔx является бесконечно малой более высокого порядка, чем Δx (свойство 3 бесконечно малых функций), то можем записать:

Δy = A Δx +o(Δx) .

Теорема . Для того, чтобы функция y=f(x) являлась дифференцируемой в данной точке x , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. При этом A=f′(x) , то есть

Δy = f′(x) Δx +o(Δx) .

Операцию нахождения производной обычно называют дифференцированием.

Теорема . Если функция y=f(x) x , то она непрерывна в этой точке.

Замечание . Из непрерывности функции y=f(x) в данной точке x , вообще говоря, не вытекает дифференцируемость функции f(x) в этой точке. Например, функция y=|x| - непрерывна в точке x=0 , но не имеет производной.

Понятие дифференциала функции

Определение . Дифференциалом функции y=f(x) называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменной x :

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx .

Для функции y=x получаем dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx , то есть dx=Δx - дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Таким образом, можем записать

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Дифференциал dy и приращение Δy функции y=f(x) в данной точке x , оба отвечающие одному и тому же приращению аргумента Δx , вообще говоря, не равны друг другу.

Геометрический смысл дифференциала : Дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику данной функции, когда аргумент получает приращение Δx .

Правила дифференцирования

Теорема . Если каждая из функций u(x) и v(x) дифференцируема в данной точке x , то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что v(x)≠ 0 ) также дифференцируемы в этой точке, причем имеют место формулы:

Рассмотрим сложную функцию y=f(φ(x))≡ F(x) , где y=f(u) , u=φ(x) . В этом случае u называют промежуточным аргументом , x - независимой переменной .

Теорема . Если y=f(u) и u=φ(x) - дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции y=f(φ(x)) существует и равна произведению этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной, т.е.

Замечание . Для сложной функции, являющейся суперпозицией трех функций y=F(f(φ(x))) , правило дифференцирования имеет вид

y′ x = y′ u u′ v v′ x ,

где функции v=φ(x) , u=f(v) и y=F(u) - дифференцируемые функции своих аргументов.

Теорема . Пусть функция y=f(x) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки x 0 . Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в указанной точке x 0 и ее производная в этой точке f′(x 0) ≠ 0 . Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y 0 =f(x 0) определена обратная для y=f(x) функция x=f -1 (y) , причем указанная обратная функция дифференцируема в соответствующей точке y 0 =f(x 0) и для ее производной в этой точке y справедлива формула

Таблица производных

Инвариантность формы первого дифференциала

Рассмотрим дифференциал сложной функции. Если y=f(x) , x=φ(t) - дифференцируемы функции своих аргументов, то производная функции y=f(φ(t)) выражается формулой

y′ t = y′ x x′ t .

По определению dy=y′ t dt , тогда получим

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx ,

dy = y′ x dx .

Итак, доказали,

Свойство инвариантности формы первого дифференциала функции : как в случае, когда аргумент x является независимой переменной, так и в случае, когда аргумент x сам является дифференцируемой функцией новой переменной, дифференциал dy функции y=f(x) равен производной этой функции, умноженной на дифференциал аргумента dx .

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Мы показали, что дифференциал dy функции y=f(x) , вообще говоря, не равен приращению Δy этой функции. Тем не менее с точностью до бесконечно малой функции более высокого порядка малости, чем Δx , справедливо приближенное равенство

Δy ≈ dy .

Отношение называют относительной погрешностью равенства этого равенства. Так как Δy-dy=o(Δx) , то относительная погрешность данного равенства становится как угодно малой при уменьшении |Δх| .

Учитывая, что Δy=f(x+δ x)-f(x) , dy=f′(x)Δx , получим f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx или

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx .

Это приближенное равенство позволяет с ошибкой o(Δx) заменить функцию f(x) в малой окрестности точки x (т.е. для малых значений Δx ) линейной функцией аргумента Δx , стоящей в правой части.

Производные высших порядков

Определение . Второй производной (или производной второго порядка) функции y=f(x) называется производная от ее первой производной.

Обозначение второй производной функции y=f(x) :

Механический смысл второй производной . Если функция y=f(x) описывает закон движения материальной точки по прямой линии, то вторая производная f″(x) равна ускорению движущейся точки в момент времени x .

Аналогично определяется третья, четвертая производная.

Определение . n -й производной (или производной n -го порядка) функции y=f(x) называется производная от ее n-1 -й производной:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′ .

Обозначения: y″′ , y IV , y V и т.д.

В задаче B9 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин:

1. Значение производной в некоторой точке x 0 ,
2. Точки максимума или минимума (точки экстремума),
3. Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).

Функции и производные, представленные в этой задаче, всегда непрерывны, что значительно упрощает решение. Не смотря на то, что задача относится к разделу математического анализа, она вполне по силам даже самым слабым ученикам, поскольку никаких глубоких теоретических познаний здесь не требуется.

Для нахождения значения производной, точек экстремума и интервалов монотонности существуют простые и универсальные алгоритмы — все они будут рассмотрены ниже.

Внимательно читайте условие задачи B9, чтобы не допускать глупых ошибок: иногда попадаются довольно объемные тексты, но важных условий, которые влияют на ход решения, там немного.

Вычисление значения производной. Метод двух точек

Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x 0 , и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:

1. Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x 1 ; y 1) и B (x 2 ; y 2). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.
2. Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x 2 − x 1 и приращение функции Δy = y 2 − y 1 .
3. Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.

Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно.

Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать — достаточно взглянуть на график.

Вычисление точек максимума и минимума

Иногда вместо графика функции в задаче B9 дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм. Для начала определимся с терминологией:

1. Точка x 0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≥ f(x).
2. Точка x 0 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≤ f(x).

Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:

1. Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.
2. Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x 0 известно, что f’(x 0) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x 0) ≥ 0 или f’(x 0) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.
3. Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.

Эта схема работает только для непрерывных функций — других в задаче B9 не встречается.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.

Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:

Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:

Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус — это точка максимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].

Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [−4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = −3,5 и x = 2. Получаем:

На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.

Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = −3,5, но с тем же успехом можно взять x = −3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи. Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.

Нахождение интервалов возрастания и убывания функции

В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает. Для начала определим, что такое возрастание и убывание:

1. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.
2. Функция f(x) называется убывающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:

1. Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) ≥ 0.
2. Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т.е. f’(x) ≤ 0.

Примем эти утверждения без доказательств. Таким образом, получаем схему для нахождения интервалов возрастания и убывания, которая во многом похожа на алгоритм вычисления точек экстремума:

1. Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.
2. Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.
3. Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:

Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:

Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). Вычислим их длины:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение l 2 = 5.

Когда человек сделал первые самостоятельные шаги в изучении математического анализа и начинает задавать неудобные вопросы, то уже не так-то просто отделаться фразой, что «дифференциальное исчисление найдено в капусте». Поэтому настало время набраться решимости и раскрыть тайну появления на свет таблицы производных и правил дифференцирования . Начало положено в статье о смысле производной , которую я настоятельно рекомендую к изучению, поскольку там мы как раз рассмотрели понятие производной и начали щёлкать задачи по теме. Этот же урок носит ярко выраженную практическую направленность, более того,

рассматриваемые ниже примеры, в принципе, можно освоить и чисто формально (например, когда нет времени/желания вникать в суть производной). Также крайне желательно (однако опять не обязательно) уметь находить производные «обычным» методом – хотя бы на уровне двух базовых занятий: Как найти производную? и Производная сложной функции.

Но без чего-чего сейчас точно не обойтись, так это без пределов функций . Вы должны ПОНИМАТЬ, что такое предел и уметь решать их, как минимум, на среднем уровне. А всё потому, что производная

функции в точке определяется формулой:

Напоминаю обозначения и термины: называют приращением аргумента ;

– приращением функции;

– это ЕДИНЫЕ символы («дельту» нельзя «отрывать» от «икса» или «игрека»).

Очевидно, что является «динамической» переменной, – константой и результат вычисления предела – числом (иногда – «плюс» либо «минус» бесконечностью) .

В качестве точки можно рассмотреть ЛЮБОЕ значение , принадлежащее области определения функции , в котором существует производная.

Примечание : оговорка «в котором существует производная» – в общем случае существенна ! Так, например, точка хоть и входит в область определения функции , но производной

Там не существует. Поэтому формула

Не применима в точке ,

и укороченная формулировка без оговорки будет некорректна. Аналогичные факты справедливы и для других функций с «обрывами» графика, в частности, для арксинуса и арккосинуса.

Таким образом, после замены , получаем вторую рабочую формулу:

Обратите внимание на коварное обстоятельство, которое может запутать чайника: в данном пределе «икс», будучи сам независимой переменной, исполняет роль статиста, а «динамику» задаёт опять же приращение . Результатом вычисления предела

является производная функция .

Исходя из вышесказанного, сформулируем условия двух типовых задач:

– Найти производную в точке , используя определение производной.

– Найти производную функцию , используя определение производной. Эта версия, по моим наблюдениям, встречается заметно чаще и ей будет уделено основное внимание.

Принципиальное отличие заданий состоит в том, что в первом случае требуется найти число (как вариант, бесконечность) , а во втором –

функцию . Кроме того, производной может и вовсе не существовать.

Как ?

Составить отношение и вычислить предел .

Откуда появилась таблица производных и правила дифференцирования? Благодаря единственному пределу

Кажется волшебством, но в

действительности – ловкость рук и никакого мошенничества. На уроке Что такое производная? я начал рассматривать конкретные примеры, где с помощью определения нашёл производные линейной и квадратичной функции. В целях познавательной разминки продолжим тревожить таблицу производных , оттачивая алгоритм и технические приёмы решения:

По сути, требуется доказать частный случай производной степенной функции, который обычно фигурирует в таблице: .

Решение технически оформляется двумя способами. Начнём с первого, уже знакомого подхода: лесенка начинается с дощечки, а производная функция – с производной в точке.

Рассмотрим некоторую (конкретную) точку , принадлежащую области определения функции , в которой существует производная. Зададим в данной точке приращение (разумеется, не выходящее за рамки о/о -я) и составим соответствующее приращение функции:

Вычислим предел:

Неопределённость 0:0 устраняется стандартным приёмом, рассмотренным ещё в первом веке до нашей эры. Домножим

числитель и знаменатель на сопряженное выражение :

Техника решения такого предела подробно рассмотрена на вводном уроке о пределах функций .

Поскольку в качестве можно выбрать ЛЮБУЮ точку интервала

То, осуществив замену , получаем:

В который раз порадуемся логарифмам:

Найти производную функции , пользуясь определением производной

Решение : рассмотрим другой подход к раскрутке той же задачи. Он точно такой же, но более рационален с точки зрения оформления. Идея состоит в том, чтобы в начале решения избавиться от

подстрочного индекса и вместо буквы использовать букву .

Рассмотрим произвольную точку , принадлежащую области определения функции (интервалу ), и зададим в ней приращение . А вот здесь, кстати, как и в большинстве случаев, можно обойтись без всяких оговорок, поскольку логарифмическая функция дифференцируема в любой точке области определения.

Тогда соответствующее приращение функции:

Найдём производную:

Простота оформления уравновешивается путаницей, которая может

возникнуть у начинающих (да и не только). Ведь мы привыкли, что в пределе изменяется буква «икс»! Но тут всё по-другому: – античная статуя, а – живой посетитель, бодро шагающий по коридору музея. То есть «икс» – это «как бы константа».

Устранение неопределённости закомментирую пошагово:

(1) Используем свойство логарифма .

(2) В скобках почленно делим числитель на знаменатель.

(3) В знаменателе искусственно домножаем и делим на «икс» чтобы

воспользоваться замечательным пределом , при этом в качестве бесконечно малой величины выступает .

Ответ : по определению производной:

Или сокращённо:

Предлагаю самостоятельно сконструировать ещё две табличные формулы:

Найти производную по определению

В данном случае составленное приращение сразу же удобно привести к общему знаменателю. Примерный образец оформления задания в конце урока (первый способ).

Найти производную по определению

А тут всё необходимо свести к замечательному пределу . Решение оформлено вторым способом.

Аналогично выводится ряд других табличных производных . Полный список можно найти в школьном учебнике, или, например, 1- м томе Фихтенгольца. Не вижу особого смысла переписывать из книг и доказательства правил дифференцирования – они тоже порождены

формулой .

Переходим к реально встречающимся заданиям: Пример 5

Найти производную функции , используя определение производной

Решение : используем первый стиль оформления. Рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , и зададим в ней приращение аргумента . Тогда соответствующее приращение функции:

Возможно, некоторые читатели ещё не до конца поняли принцип, по которому нужно составлять приращение . Берём точку (число) и находим в ней значение функции: , то есть в функцию

вместо «икса» следует подставить . Теперь берём

Составленное приращение функции бывает выгодно сразу же упростить . Зачем? Облегчить и укоротить решение дальнейшего предела.

Используем формулы , раскрываем скобки и сокращаем всё, что можно сократить:

Индейка выпотрошена, с жаркое никаких проблем:

В итоге:

Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то проведём замену и получим .

Ответ : по определению.

В целях проверки найдём производную с помощью правил

дифференцирования и таблицы:

Всегда полезно и приятно знать правильный ответ заранее, поэтому лучше мысленно либо на черновике продифференцировать предложенную функцию «быстрым» способом в самом начале решения.

Найти производную функции по определению производной

Это пример для самостоятельного решения. Результат лежит на поверхности:

Вернёмся к стилю №2: Пример 7

Давайте немедленно узнаем, что должно получиться. По правилу дифференцирования сложной функции :

Решение : рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , зададим в ней приращение аргумента и составим приращение

Найдём производную:

(1) Используем тригонометрическую формулу

(2) Под синусом раскрываем скобки, под косинусом приводим подобные слагаемые.

(3) Под синусом сокращаем слагаемые, под косинусом почленно делим числитель на знаменатель.

(4) В силу нечётности синуса выносим «минус». Под косинусом

указываем, что слагаемое .

(5) В знаменателе проводим искусственное домножение, чтобы использовать первый замечательный предел . Таким образом, неопределённость устранена, причёсываем результат.

Ответ : по определению Как видите, основная трудность рассматриваемой задачи упирается в

сложность самого предела + небольшое своеобразие упаковки. На практике встречаются и тот и другой способ оформления, поэтому я максимально подробно расписываю оба подхода. Они равноценны, но всё-таки, по моему субъективному впечатлению, чайникам целесообразнее придерживаться 1-го варианта с «икс нулевым».

Пользуясь определением, найти производную функции

Это задание для самостоятельного решения. Образец оформлен в том же духе, что предыдущий пример.

Разберём более редкую версию задачи:

Найти производную функции в точке , пользуясь определением производной.

Во-первых, что должно получиться в сухом остатке? Число Вычислим ответ стандартным способом:

Решение : с точки зрения наглядности это задание значительно проще, так как в формуле вместо

рассматривается конкретное значение.

Зададим в точке приращение и составим соответствующее приращение функции:

Вычислим производную в точке:

Используем весьма редкую формулу разности тангенсов и в который раз сведём решение к первому

замечательному пределу:

Ответ : по определению производной в точке.

Задачу не так трудно решить и «в общем виде» – достаточно заменить на или просто в зависимости от способа оформления. В этом случае, понятно, получится не число, а производная функция.

Пример 10 Используя определение, найти производную функции в точке

Это пример для самостоятельного решения.

Заключительная бонус-задача предназначена, прежде всего, для студентов с углубленным изучением математического анализа, но и всем остальным тоже не помешает:

Будет ли дифференцируема функция в точке ?

Решение : очевидно, что кусочно-заданная функция непрерывна в точке , но будет ли она там дифференцируема?

Алгоритм решения, причём не только для кусочных функций, таков:

1) Находим левостороннюю производную в данной точке: .

2) Находим правостороннюю производную в данной точке: .

3) Если односторонние производные конечны и совпадают:

, то функция дифференцируема в точке и

геометрически здесь существует общая касательная (см. теоретическую часть урока Определение и смысл производной ).

Если получены два разных значения: (одно из которых может оказаться и бесконечным) , то функция не дифференцируема в точке .

Если же обе односторонние производные равны бесконечности

(пусть даже разных знаков), то функция не

дифференцируема в точке , но там существует бесконечная производная и общая вертикальная касательная к графику (см. Пример 5 урока Уравнение нормали ) .

Примечание : таким образом, между вопросами «Будет ли дифференцируема функция в точке?» и «Существует ли производная в точке?» есть разница!

Всё очень просто!

1) При нахождении левосторонней производной приращение аргумента отрицательно: , а слева от точки расположена парабола , поэтому приращение функции равно:

И соответствующий левосторонний предел численно равен левосторонней производной в рассматриваемой точке:

2) Справа от точки находится график прямой и приращение аргумента положительно: . Таким образом, приращение функции:

Правосторонний предел и правосторонняя производная в точке:

3) Односторонние производные конечны и различны:

Ответ : функция не дифференцируема в точке .

Ещё легче доказывается книжный случай недифференцируемости модуля в точке , о котором я в общих чертах уже рассказал на теоретическом уроке о производной .

Некоторые кусочно-заданные функции дифференцируемы и в точках «стыка» графика, например, котопёс

обладает общей производной и общей касательной (ось абсцисс) в точке . Кривой, да дифференцируемый на ! Желающие могут убедиться в этом самостоятельно по образцу только что решённого примера.

На этом забавном гибриде и закончим повествование =) Решения и ответы:

Пример 3: Решение : рассмотрим некоторую точку , принадлежащую области определения функции . Зададим в

данной точке приращение и составим соответствующее приращение функции:

Найдём производную в точке :

Так как в качестве можно выбрать любую точку области определения функции , то и

Ответ : по определению производной

Пример 4: Решение : рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , и зададим в ней приращение . Тогда соответствующее приращение функции:

Найдём производную:

Используем замечательный предел

Ответ : по определению

Пример 6: Решение : рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , и зададим в ней приращение аргумента . Тогда соответствующее приращение функции:

Ответ : по определению

Пример 10: Решение : Зададим приращение в точке . Тогда приращение функции:

Вычислим производную в точке:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

Ответ : по определению производной в точке

План:

1. Производная функции

2. Дифференциал функции

3. Приложение дифференциального исчисления к исследованию функции

Производная функции одной переменной

Пусть функция определена на некотором интервале . Аргументу дадим приращение : , тогда функция получит приращение . Найдем предел этого отношения при Если этот предел существует, то его называют производной функции . Производная функции имеет несколько обозначений: . Иногда в обозначении производной используется индекс , указывающий, по какой переменной взята производная.

Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю (если этот предел существует):

Определение. Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой в этом интервале.

Определение. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием .

Значение производной функции в точке обозначается одним из символов: .

Пример. Найти производную функции в произвольной точке .

Решение . Значению даем приращение . Найдем приращение функции в точке : . Составим отношение . Перейдем к пределу: . Таким образом, .

Механический смысл производной . Так как или , т.е. скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени . В этом заключается механический смысл производной .

Если функция описывает какой-либо физический процесс, то производная есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной .

Геометрический смысл производной . Рассмотрим график непрерывной кривой , имеющий в точке невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент , где - угол касательной с осью . Для этого проведем через точку и графика секущую (рисунок 1).

Обозначим через - угол между секущей и осью . На рисунке видно, что угловой коэффициент секущей равен

При в силу непрерывности функции приращение тоже стремится к нулю; поэтому точка неограниченно приближается по кривой к точке , а секущая , поворачиваясь около точки , переходит в касательную. Угол , т.е. . Следовательно, , поэтому угловой коэффициент касательной равен .

Угловой коэффициент касательной к кривой

Это равенство перепишем в виде: , т.е. производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна . В этом заключается геометрический смысл производной .

Если точка касания имеет координаты (рисунок 2), угловой коэффициент касательной равен: .

Уравнение прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении имеет вид: .

Тогда уравнение касательной записывается в виде: .

Определение. Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой .

Угловой коэффициент нормали равен: (так как нормаль перпендикулярна касательной).

Уравнение нормали имеет вид: , если .

Подставляя найденные значения и получаем уравнения касательной , т.е. .

Уравнение нормали: или .

Если функция имеет конечную производную в точке, то она дифференцируема в этой точке. Если функция дифференцируема в каждой точке интервала, то она дифференцируема в этом интервале.

Теорема 6.1 Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

Обратная теорема неверна. Непрерывная функция может не иметь производной.

Пример. Функция непрерывна на интервале (рисунок 3).

Решение .

Производная этой функции равна:

В точке - функция не дифференцируема.

Замечание . На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Поэтому в таблице формул дифференцирования аргумент заменен на промежуточный аргумент .

Таблица производных

Постоянная величина

Степенная функция :

2) , в частности ;

Показательная функция :

3) , в частности ;

Логарифмическая функция :

4) , в частности, ;

Тригонометрические функции :

Обратные тригонометрические функции , , , :

Продифференцировать функцию это значит найти ее производную, то есть вычислить предел: . Однако определение предела в большинстве случаев представляет громоздкую задачу.

Если знать производные основных элементарных функций и знать правила дифференцирования результатов арифметических действий над этими функциями, то можно легко найти производные любых элементарных функций, согласно правил определения производных, хорошо известных из школьного курса.

Пусть функции и - две дифференцируемые в некотором интервале функции.

Теорема 6.2 Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: .

Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Пример. Найти производную функции .

Решение .

Теорема 6.3 Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: .

Пример. Найти производную функции .

Решение .

Теорема 6.4 Производная частного двух функций , если равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя: .

Пример. Найти производную функции .

Решение . .

Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу

Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если , , , то

Пусть и, тогда - сложная функция с промежуточным аргументом и независимым аргументом .

Теорема 6.5 Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке , которая находится по формуле . , Найти производную функции , заданную уравнением: .

Решение . Функция задана неявно. Продифференцируем уравнение по , помня, что : . Затем находим: .