Определение подмножества. Как найти все подмножества множеств. Элементы комбинаторики: Размещения

В математике понятие множества является одним из основных, фундаментальным, однако единого определения множества не существует. Одним из наиболее устоявшихся определений множества является следующее: под множеством понимают любое собрание определённых и отличных друг от друга объектов, мыслимых как единое целое. Создатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) говорил так: "Множество есть многое, мыслимое нами как целое".

Ели ли Вы сегодня обед? Сейчас станет известна страшная тайна. Обед является множеством. А именно, множеством блюд, из которых он состоит. В нём (как правило) нет одинаковых блюд, и во множестве все элементы должны быть разными. А, если на обед у Вас был тот же самый салат, что и на завтрак, то этот салат является пересечением множеств "Обед" и "Завтрак".

Взгляните на книгу, лежащую на столе или стоящую на полке. Она является множеством страниц. Все страницы в ней отличаются друг от друга, по меньшей мере номерами.

А улица, на которой Вы живёте? Она является собранием многих разных объектов, но обязательно есть множество домов, расположенных на этой улице. Поэтому множество домов является подмножеством множества "Улица".

Итак, мы рассмотрели не только примеры множеств, но и пример операции над множествами - пересечение, а также отношение включения подмножества во множество. Все эти понятия будем рассматривать подробно на этом уроке.

Но пока ещё один пример практического рассмотрения множеств.

Множества как тип данных оказались очень удобными для программирования сложных жизненных ситуаций, так как с их помощью можно точно моделировать объекты реального мира и компактно отображать сложные логические взаимоотношения. Множества применяются в языке программирования Паскаль и один из примеров решения мы ниже разберём.

Пример 0 (Паскаль). Существует набор продуктов, продаваемых в нескольких магазинах города. Определить: какие продукты есть во всех магазинах города; полный набор продуктов в городе.

Решение. Определяем базовый тип данных Food (продукты), он может принимать значения, соответствующие названиями продуктов (например, hleb). Объявляем тип множества, он определяет все подмножества, составленные из комбинаций значений базового типа, то есть Food (продукты). И формируем подмножества: магазины "Солнышко", "Ветерок", "Огонёк", а также производные подмножества: MinFood (продукты, которые есть во всех магазинах), MaxFood (полный набор продуктов в городе). Далее прописываем операции для получения производных подмножеств. Подмножество MinFood получается в результате пересечения подмножеств Solnyshko, Veterok и Ogonyok и включает те и только те элементы этих подмножеств, которые включены в каждое их этих подмножеств (в Паскале операция пересечения множеств обозначается звёздочкой: A * B * C, математическое обозначение пересечения множеств дано далее). Подмножество MaxFood получается в результате объединения тех же подмножеств и включает элементы, которые включены во все подмножества (в Паскале операция объединения множеств обозначается знаком "плюс": A + B + C, математическое обозначение объединения множеств дано далее).

Код PASCAL

Program Shops; type Food=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, sahar, maslo, ryba); Shop = set of Food; var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: Shop; Begin Solnyshko:=; Veterok:=; Ogonyok:=; ... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok; MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; End.

Какие бывают множества

Объекты, составляющие множества - объекты нашей интуиции или интеллекта - могут быть самой различной природы. В примере в первом параграфе мы разобрали множества, включающие набор продуктов. Множества могут состоять, например, и из всех букв русского алфавита. В математике изучаются множества чисел, например, состоящие из всех:

Натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, ...

Простых чисел

Чётных целых чисел

и т.п. (основные числовые множества рассмотрены в этого материала).

Объекты, составляющие множество, называются его элементами. Можно сказать, что множество - это "мешок с элементами". Очень важно: в множестве не бывает одинаковых элементов.

Множества бывают конечными и бесконечными. Конечное множество - это множество, для которого существует натуральное число, являющееся числом его элементов. Например, множество первых пяти неотрицательных целых нечётных чисел является конечным множеством. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Например, множество всех натуральных чисел является бесконечным множеством.

Если M - множество, а a - его элемент, то пишут: a ∈M , что означает "a принадлежит множеству M ".

Из первого (нулевого) примера на Паскале с продуктами, которые есть в тех или иных магазинах:

hleb ∈VETEROK ,

что означает: элемент "hleb" принадлежит множеству продуктов, которые есть в магазине "VETEROK".

Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание.

Множество можно задать, перечислив все его элементы, например:

VETEROK = {hleb , syr , maslo } ,

A = {7 , 14 , 28 } .

Перечислением можно задать только конечное множество. Хотя можно сделать это и описанием. Но бесконечные множества можно задать только описанием.

Для описания множеств используется следующий способ. Пусть p (x ) - некоторое высказывание, которое описывает свойства переменной x , областью значений которых является множество M . Тогда через M = {x | p (x )} обозначаентся множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, для которых высказывание p (x ) истинно. Это выражение читается так: "Множество M , состоящее из всех таких x , что p (x ) ".

Например, запись

M = {x | x ² - 3x + 2 = 0}

Пример 6. Согласно опросу 100 покупателей рынка, купивших цитрусовые, апельсины купили 29 покупателей, лимоны - 30 покупателей, мандарины - 9, только мандарины - 1, апельсины и лимоны - 10, лимоны и мандарины - 4, все три вида фруктов - 3 покупателя. Сколько покупателей не купили ни одного вида перечисленных здесь цитрусовых? Сколько покупателей купили только лимоны?

Операция декартова произведения множеств

Для определения ещё одной важной операции над множествами - декартова произведения множеств введём понятие упорядоченного набора длины n .

Длиной набора называется число n его компонент. Набор, составленный из элементов , взятых именно в этом порядке, обозначается . При этом i я () компонента набора есть .

Сейчас последует строгое определение, которое, возможно, не сразу понятно, но после этого определения будет картинка, по которой станет понятно, как получить декартово произведение множеств.

Декартовым (прямым) произведением множеств называется множество, обозначаемое и состоящее из всех тех и только тех наборов длины n , i -я компонента которых принадлежит .

Сравнительный анализ возможностей человека и машины

Показатели превосходства человека	Показатели превосходства машины
Обнаружение полезных сигналов с низким энергетическим уровнем (световых, звуковых)	Выполнение однообразных точных работ длительное время.
Опознание образов и их обобщение	Быстрая реакция на сигналы управления
Обнаружение сигналов на фоне высоких уровней шумов	Плавное и точное приложение больших усилий.
Хранение большого объема информации длительное время и использование требуемой информации в нужное время	Хранение больших объемов информации и быстродействие при их вводе
Способность к восприятию и использованию неполной информации	Выполнение сложных вычислений с большой точностью и скоростью
Нахождение и использование эвристических методов решения	Одновременное выполнение нескольких разнообразных действий
Реагирование на непредвиденные обстоятельства	Использование дедуктивных методов в процессе принятия решения
Оригинальность в решении задач	Нечувствительность ко многим посторонним факторам
Способность учитывать прошлый опыт и изменять способ действий	Работоспособность в условиях, где человек не может работать
Способность выполнять операции в непредвиденных ситуациях	Чувствительность к стимулам превосходящим человеческие
Способность работать в условиях перегрузок	Время стабильной работы больше, чем у человека
Чувствительность к широкому диапазону стимулов

В системе «человек-машина» к человеку предъявляются ряд требований.

Человек должен:

Уметь четко формулировать задачи;

Знать компоненты СОУ и ее возможности;

Уметь составлять программу решения задачи;

Уметь сравнивать полученный результат с предполагаемым и изменять несоответствие изменением способа решения задачи.

Множество - это объединение в одно целое объектов, связанных между собой неким свойством. Термин «множество» в математике не всегда обозначает большое количество предметов, оно может состоять из одного элемента и вообще не содержать элементов, тогда его называют пустым и обозначают .

Множество B называется подмножеством множества A , если любой элемент множества B является элементом множества A . Обозначение: .

Пример. . Запишем все подмножества множества M: {-14}, {11}, {17}, {-14;11}, {-14;17}, {11;17}, {-14;11;11}, .

Свойства включения множеств:

1. Пустое множество является подмножеством любого множества: Æ Ì А .

2. Любое множество является подмножеством самого себя, т. е. для любого множества А справедливо включение А Ì А .

3. Если А – подмножество множества В , а В – подмножество множества С , то А – подмножество множества С .

Универсальное множество – это самое большее множество, содержащее в себе все множества, рассматриваемые в данной задаче.

На диаграмме Эйлера – Венна универсальное множество обозначают в виде прямоугольника и буквы U .

Множеством называется совокупность определенных вполне различаемых объектов, рассматриваемых как единое целое.

Под множеством понимается некоторая совокупность объектов, объединенных по какому-то общему признаку.

Отдельные объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.

Множество обозначают символом A = {x }, где x - общее наименование элементов множества A . Часто множество записывают в виде A = {a , b , c , ...}, где в фигурных скобках указаны элементы множества A . Будем пользоваться обозначениями:

N - множество всех натуральных чисел;
Z - множество всех целых чисел;
Q - множество всех рациональных чисел;
R - множество всех действительных чисел;
C - множество всех комплексных чисел;
Z 0 - множество всех неотрицательных целых чисел.

a принадлежит множеству A .

Запись (или ) означает, что элемент a не принадлежит множеству A .

Подмно́жество в теории множеств - это понятие части множества.

Множество B , все элементы которого принадлежат множеству A , называется подмножеством множества A , и при этом записывают (или )

Всегда , так как каждый элемент множества, естественно, принадлежит A . Пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента, обозначим символом . Любое множество содержит пустое множество в качестве своего подмножества.

Если , то A и B называются равными множествами , при этом записывают A = B .

5. Операции над множествами: объединение множеств, свойства этой операции.

Объединение множеств А и В - это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В, т.е. принадлежат А или принадлежат В.

объединением множеств A и B называется множество

6. Операции над множествами: пересечение множеств, свойства этой операции.

Пересечение множеств А и В - это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Пересечением подмножеств A и B называется множество

7. Элементы комбинаторики: Перестановки.

Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двух основных утверждений, касающихся конечных множеств – правило суммы и правило произведения .

Правило суммы : пусть имеется n попарно непересекающихся множеств A 1 , A 2 , …, A n , содержащих m 1 , m 2 , …, m n элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать один элемент из всех этих множеств, равно m 1 + m 2 + … + m n .

Пример . Если на первой полке стоит X книг, а на второй Y , то выбрать книгу с первой или второй полки, можно X+Y способами.

Правило произведения : пусть имеется n множеств A 1 , A 2 , …, A n содержащих m 1 , m 2 , …, m n элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждого множества, т. е. построить кортеж (а 1 , а 2 , ..., а n ), где а i Î А i1 (i = 1, 2, …, n ), равно m 1 · m 2 · … · m n .

Пример . Если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10=50 способами.

Факториал. Так называют часто встречающуюся в практике функцию, определенную для целых неотрицательных чисел. Название функции происходит от английского математического термина factor - «сомножитель». Обозначается она . Для каждого целого положительного числа функция равна произведению всех целых чисел от 1 до . Например: . Для удобства полагают по определению . Особенно часто встречается факториал в комбинаторике. Например, количество способов выстроить школьников в одну шеренгу равняется

Определение. Если в некотором множестве переставлять местами элементы, оставляя неизменным их количество, то каждая полученная таким образом комбинация называется перестановкой .

Общее число перестановок из m элементов обозначается P m и вычисляется по формуле:

8. Элементы комбинаторики: Сочетания.

Определение. Если из т элементов составлять группы по п элементов в каждой, не обращая внимания на порядок элементов в группе, то получившиеся при этом комбинации называются сочетаниями из т элементов по п .

Общее число сочетаний находится по формуле:

9. Элементы комбинаторики: Размещения.

Урок и презентация на тему: "Множества и подмножества, примеры"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Мультимедийное учебное пособие для 9 класса "Алгебра за 10 минут"
Электронное учебное пособие для учащихся 7-9 классов "Понятная алгебра"

Множества и подмножества

Ребята, мы переходим к изучению очень важной темы "Множества". Множества нам будут встречаться постоянно, в курсах математики за более старшие классы и в 9 классе почти все темы тесно связанны с данным понятием. Поэтому постарайтесь хорошо усвоить данную тему.

Так что же такое множество?
Множествами занимается специальный раздел математики теория множеств. Множество – одно из главных и фундаментальных понятий. Определения у него нет, но давайте попробуем понять, что же такое множество? Множество – это совокупность различных элементов, их можно посчитать, сгруппировать. Примерами множеств могут служить буквы алфавита – множество, состоящее из 33 элементов. Множество яблок на дереве – количество яблок на дереве, конечно и его можно посчитать и занумеровать. Примеров множеств можно придумать очень много. Попробуйте сами придумать какой-нибудь пример.
В математике множество обозначается в фигурных скобках {,}. Например, множество первых пяти букв английского алфавита обозначат вот так: {A,B,C,D,E}. Если записать это множество в другом порядке, оно не изменится.
Математика настолько интересный предмет, что у нас есть понятие пустого множества и бесконечного множества. Пустое множество – множество, в котором нет ни одного элемента, его обозначают без скобок и используют значок Ø. Бесконечное множество, наверняка понятно из названия – множество, в котором бесконечное количество элементов, например множество всех чисел.
Множества можно описать различными словами, например, {10, 12, 16, 18, ..., 96 ,98} – это множество четных двузначных чисел. Многоточие используется, когда элементов очень много и все их записать сложно, но при этом запись множества должна быть понятной, и чтобы по ней можно было определить, что это за множество.
$ \{x| -2

Существуют специальные обозначения множеств. Например, для множества натуральных чисел. Ребята, а вы помните, как это множество обозначается?
Для обозначения принадлежности элемента множеству используется специальный знак $ϵ$. Запись $2 ϵ \{2,4,6,8... \}$. Читается так: "Два принадлежит множеству четных чисел".

Пример.
Некоторое множество состоит из корней уравнения $x^3+3x^2+2x=0$. Найдите элементы этого множества и перечислите все возможные варианты расположения элементов.

Решение.
Давайте решим уравнение, вынесем х за скобки:
$x(x^2+3x+2)=0$
$x(x+2)(x+1)=0$

Тогда решения нашего уравнения: $x=0;-2;-1$ – это и есть элементы искомого множества.
Давайте запишем возможные варианты расположения элементов:
{-2, -1, 0}; {-2, 0, -1}; {-1, 0, 2}; {-1, 2, 0}; {0, -2, -1}; {0, -1, -2}.

Пример .
Опишите данные множества.

$а) \{1,2,3,4,...,9,10 \} \\ б) \{1,8,27,64 ... \}$
Решение.
а) Множество натуральных чисел от 1 до 10.
б) Множество всех значений кубов натуральных чисел.

Пример .
Решив неравенство, записать его решения в виде числового промежутка:

А) $\{x^2 | x^2+1>0\}$
б) $\{x| 1/x в) $\{x |x^2+7x+12
Решение.
а) $x^2+1>0$ больше нуля при всех х. Тогда числовой промежуток запишется в виде: $(-∞;+∞)$.
б) 1/x в) $x^2+7x+12

Подмножество

Если из нашего множества выбрать несколько элементов и сгруппировать их отдельно – то это будет подмножество нашего множества. Комбинаций, из которых можно получить подмножество много, количество комбинаций лишь зависит от количества элементов в исходном множестве.
Пусть у нас есть два множества А и Б. Если каждый элемент множества Б является элементом множества А, то множество Б называется подмножеством А. Обозначается: Б ⊂ А. Пример.
Сколько существует подмножеств множества А={1, 2, 3}.
Решение.
Подмножества состоя из элементов нашего множества. Тогда у нас существует 4 варианта по количеству элементов в подмножестве:
Подмножество может состоять из 1 элемента, из 2, 3 элементов и может быть пустым. Давайте последовательно запишем наши элементы.
Подмножество из 1 элемента: {1}, {2}, {3}.
Подмножество из 2 элементов: {1, 2}; {1, 3}; {2, 3}.
Подмножество из 3 элементов: {1, 2, 3}.

Не забудем, что пустое множество так же является подмножеством нашего множества. Тогда получаем, что у нас есть 3+3+1+1=8 подмножеств.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите множество решений уравнения: $2x^3+8x^2+6x=0$. Перечислите все возможные варианты расположения элементов.
2. Опишите множество:
$a) \{1, 3, 5, 7...99 \} \\b) \{1, 4, 7, 10, 13, 16 \} \\ c) \{5, 10, 15, 20 ... 995 \}$
3. Сколько существует подмножеств множества А={3, 4, 5, 6}.

Два множества A и B равны, если они состоят из одних и тех же элементов.

Из этого принципа следует, что для любых двух различных множеств всегда найдется некоторый объект, являющийся элементом одного из них и не являющийся элементом другого. Так как пустые совокупности не содержат элементов, то они не различимы и поэтому пустое множество – единственно.

Подмножества. Определение равенства множеств можно сформулировать иначе, используя понятие подмножества.

Определение. Множество A называется подмножеством множества B , если каждый элемент A является элементом B.

Следствие 1. Очевидно,
для любого множества A, т.к. каждый элемент из A есть элемент из A.

Следствие 2. Для любого множества A,
, ибо если бы пустое множество не являлось подмножеством A, то в пустом подмножестве существовали бы элементы, не принадлежащие A. Однако пустое множество не содержит вообще ни одного элемента.

Если
, то пишут
, и если
, то A – собственное подмножество B.

Понятие подмножества множеств позволяет легко формализовать понятие равенства двух множеств.

Утверждение. Для любых A и B

Логическую эквивалентность, определяемую выражением (1.1) используют как основной способ доказательства равенства двух множеств.

Замечание . Отношение включения  обладает рядом очевидных свойств:

(рефлексивность);

(транзитивность).

Для любого множества X можно определить специальное множество всех подмножеств множества X, которое называется булеаном ℬ
, которое включает в себя само множество X, все его подмножества и пустое множество
.

Пример. Пусть
– это множество, состоящее из трех элементов. Тогда булеанℬ (X) это множество:

Собственными подмножествами ℬ (X) являются следующие множества:

{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c}.

В общем случае, если множество X содержит n элементов, то множество его подмножеств ℬ (X) состоит из элементов.

Операции на множествах.

Пусть U – универсальное множество,
. Тогда для множеств X,Y можно определить операции
.

Определение . Объединением множеств X и Y называется множество
, состоящее из элементов, входящих хотя бы в одно из множеств (X или Y):

Рис. 1.1 – Объединение множеств Рис. 1.2 – Пересечение множеств

Определение . Пересечением множеств X и Y называется множество
, состоящее из элементов, входящих в X и в Y одновременно:

Определение . Разностью множеств X и Y называется множество
, состоящее из элементов, входящих в множество X, но не входящих в Y:

Рис. 1.3 – Разность множеств
Рис. 1.4 – Симметрическая

разность множеств

Определение . Симметрической разностью двух множеств X и Y называется множество
, состоящее из элементов множества X и элементов множества Y, за исключением элементов, являющихся общими для обоих множеств:

Определение . Для любого множества
дополнением множествадо U называется такое множество, что:

Рис. 1.5 – Дополнение множества X до U

На рис. 1.1  1.5 представлены диаграммы Венна, наглядно демонстрирующие результаты операций
.

Дополнение множества иногда обозначается
. Операции
связаны между собой законами де Моргана:

, (1.7)

. (1.8)

В справедливости законов де Моргана легко убедиться самостоятельно.

В таблице 1.1 представлены основные свойства операций над множествами.

Таблица 1.1

	Свойства операций	Объединение, пересечение, дополнение
	коммутативность	,
	ассоциативность
	дистрибутивность
	идемпотентность	, , , , ,
	теоремы де Моргана	,
	инволюция

Операции объединения и пересечения можно обобщить. Пусть
– множество индексов,
– семейство подмножеств множества X.

Определение. Семейство подмножеств
множества X, для которых
, называетсяразбиением множества X, если выполняются следующие два условия:

,

Определение. Семейство подмножеств
множества X называетсяпокрытием множества X, если:
.

Определение. Класс K подмножеств из U называется алгеброй, если:

1.
;

2. из того, что
следует, что
;

3. из того, что
следует, что
.

Пример. Пусть
, тогда класс
образует алгебру.

Определение. Класс F подмножеств из U образует -алгебру, если:

1.
;

2. из того, что
следует
;

3. из того, что
,
следует, что
.

Пример. Множество всех подмножеств U образует -алгебру, т.е.ℬ (U) – -алгебра.