Коды уолша. Представление сигналов разрывными функциями. Функции Радемахера, Уолша, Хаара. Адрессация базовых станций

Как было сказано выше, для объединения нескольких каналов при кодовом разделении каналов необходимо, чтобы псевдослучайные коды были разделимы с помощью корреляционного фильтра. Для этого они должны достаточно различаться. Степень подобия (похожести) функций в математике отображается с помощью корреляции. Различаются взаимная корреляция - сравнение двух функций, ортогональная корреляция - при полной независимости двух функций и автокорреляция - сравнение функции с собой при сдвиге во времени.

Для дискретных функций интегрирование можно заменить суммированием.

В системах многостанционного доступа с кодовым разделением каналов применяются ортогональные функции Уолша. Одним из необходимых (но не достаточных) свойств такого кода является его сбалансированность, т. е. одинаковое число нулей и единиц.

Заметим, что при кодировании обычно символ 0 заменяется на +1, а 1 на –1.

Рассмотрим пример вычисления ортогональности полученных функций. Разберем взаимную корреляцию (без сдвига) функций и .

Согласно полученному результату эти две функции ортогональны.

Однако ортогональные функции Уолша имеют недостатки. Система должна быть синхронизирована. При сдвиге синхронизации функции корреляция увеличивается.

Для сдвинутых по времени и несинхронизированных сигналов взаимная корреляция может быть не равна нулю. Они могут интерферировать друг с другом. Вот почему кодирование с помощью функций Уолша может применяться только при синхронном CDMA .

3.1.3. Неортогональные псевдослучайные функции

Неортогональные (асинхронные) псевдослучайные функции могут быть сгенерированы с применением сдвиговых регистров , сумматоров (сложение по модулю 2) и контуров обратной связи. Рис. 3.4 иллюстрирует такой принцип.

Рис. 3.4.

Максимальная длина последовательности определяется длиной регистра и конфигурацией цепи обратной связи (на рис. 3.4 цепи обратной связи обозначены , ). Регистр длиной битов может порождать свыше различных комбинаций нулей и единиц. Так как цепь обратной связи выполняет линейные операции, то если все регистры будут иметь нулевое значение, выход цепи обратной связи также будет нулевой. Поэтому, если установить все разряды на нуль, то цепь обратной связи будет всегда давать нулевой выход для всех последующих тактовых циклов, так что необходимо исключить эту комбинацию из возможных последовательностей. Таким образом, максимальная длина любой последовательности равна . Генерируемые последовательности называются последовательностями максимальной длины , или m-последовательностями . Основное свойство таких последовательностей: автокорреляционная функция m-последовательности имеет пик при нулевом сдвиге и малый уровень боковых выбросов в остальных случаях. Это позволяет более четко выделять каналы. Конфигурации обратной связи для m-последовательности сведены в таблицу и могут быть найдены в .

Последовательности, порождаемые регистрами сдвига , имеют еще много вариантов. В частности, известны последовательности Голда, порождаемые совокупностью двух регистров, последовательности Касами, порождаемые тремя регистрами, и т. д. [ , ].

В системе IS95c (CDMA-2000-1x) используется технология множественного доступа с кодовым разделением (см ПСП и характеристики), благодоря применения этой технологии способ адресации каналов, мобильных и базовый станций в системе реализуется так же с применением кодов особым образом. Для объяснения принципов реализованных в данной системе в данном разделе сперва будут объяснены некоторые технические понятия, а после этого будут подробно рассмотрены вопросы адресации.

Конфигурация радиоканала

Конфигурация радиоканала (Radio configuration - RC) определяет конфигурацию физических каналов, базирующуюся на удельной скорости передачи данных. Каждая RC определяет набор скоростей данных, в основе которых лежат скорости 9.6 или 14.4 кбит/с. Они - две существующих скорости передачи данных, поддерживаемые IS95c. Каждая RC также определяет ширину спектра (sprading rate SR1) и тип кодирования. В настоящее время есть пять конфигураций радиоканала, определенных в cdma2000-1x для прямого канала, и три для обратного.

Spreading Rate: чиповая скорость (скорость следования элементарных сигналов псевдослучайной последовательности) прямого или обратного канала.IS95c использует SR1 (Spreading Rate 1) : То же самое, что и “1XRTT.” Прямой и обратный канал CDMA использует прямое расширение спектра псевдослучайной последовательностью c чиповой скорости 1.2288 МГц.

RC2 -конфигурация, базирующаяся на скорости 14.4 кбит/с также поддерживаются скорости 9.6, 4.8, 2.4 и 1.5 кбит/с для голоса работает в SR1 n=9 R=1/2.

RC3 -конфигурация, базирующаяся на скорости 9.6 кбит/с также поддерживаются скорости 4.8, 2.7, и 1.5 кбит/с для голоса, в то время как для данных применяются потоки с конфигурациями канализирующего кода - поддерживая скорости 19.2, 38.4, 76.8, и 153.6 кбит/с и работает в SR1 и использует канальное кодирование с параметрами n=9 R=1/2.

RC4 -конфигурация для передачи данных применяются потоки с изменением канализирующего кода - поддерживая скорости 9.6, 19.2, 38.4, 76.8, 153.6 и 307.2 кбит/с и работает в SR1 и использует турбо-коды.

RC5 - используется только для передачи данных применяются потоки с конфигурациями канализирующего кода - поддерживая скорости 14.4, 28.8, 57.6, 115.2 и 230.4 работает в SR1 использует спец. кодирование и благодаря стандартизованному ряду скоростей является наиболее предпочтительной конфигурацией для передачи данных.

Radio configuration	Конфигурация к.к.	Скоростная формула,кбит/с
	сверт. код R=1/2, k=9
	сверт. код R=1/2, k=9
	сверт. код R=1/2, k=9
	турбо-коды
	спец. кодирование

Таблица 1. Список конфигураций радиоканала в прямом направлении.

Так же конфигурация RC определяет режим работы радиопередаюшего тракта, например режим RC3 использует новый метод модуляции см. рис 1,а режим RC1 является полностью совместимым с ССС IS95a см. рис 1 .

Рис. 1. Модулятор используемый при конфигурации радиоканала RC3

В данном разделе мы будем рассматривать систему в режиме RC1.

Коды используемые в системе IS-95c.

В ССМС используется три типа кодов короткая и длинные м-последова- тельности и коды уолша.

Короткая ПСП

Коротка псп представляет из себя две псевдослучайные скремблирующие последовательности ПСП - I и ПСП - Q (символы I и Q отвечают физическому назначению и обозначают синфазную и квадратурную составляющим в модуляторе). Период каждой из названных ПСП содержит 215 чипов, частота следования которых согласно стандарту составляет 1,2288 Мчип / с. Прямой подсчет показывает, что на одном двухсекундном отрезке умещается в точности 75 периодов коротких ПСП . Структурно короткие ПСП представляют собой М - последовательности длины

N = 2 -1 с характеристическими полиномами

f i = x 15 + х 13 + х 9 + х 8 + х 7 + х 5 +1 и

f Q = X 15 + X 12 + X 11 + X 10 + X 6 + X 5 + X 4 + X 3 +1,

расширенные добавлением нулевого символа к цепочке из 14 последовательных нулей на каждом периоде .

Длинная ПСП

Символы длинной ПСП имеют частоту следования 1,2288 Мчип/с. Формирование длинной ПСП осуществляется с помощью полинома

f ( x ) = х 42 + х 35 + х 33 + х 31 + х 27 + х 26 + х 25 + х 22 + х 21 + х 19 + + X 18 + X 17 + X 16 + X 10 + X 7 + X 6 + X 5 + X 3 + X 2 + X + 1.

Коды Уолша

Коды Уолша использованые в системе ообозначаются как: W n N , где N - длина кода, n - ряд в матрице Уолша-Адамара. Эта матрица строится итерационным алгоритмом (см. Рис 2.). На каждой итерации любое кодовое слово, полученное на предедущем шаге, преобразуется в два новых удвоением длинны путем двухкратного повторения в одном слове и повторения с изменением знака в другом. Так если C k , некое слово, полученное на к-ом шаге его "потомками" на k+1-м шаге будут слова вида (C k ,C k),(C k ,-C k), таким образом стартуя с тривиального слова длины 1, равного 1, за k итераций можно получить 2 k кодовых векторов длины N=2 k ортогональность которых очевидна (см. Рис 2.).

Рис.2 Дерево канализирующих кодов.

Используя указанный метод, можно создать код Уолша, размерность которого равна 2 k х 2 k (k - положительное целое число). Набор кодов Уолша характеризуется матрицей 64 x 64(RC1) или 128 х 128(RC3), где каждая строка соответствует отдельному коду. Поскольку элементы набора кодов Уолша взаимно ортогональны, их применение позволяет разделить прямой канал связи на 64(RC1) или 128(RC3) ортогональных сигналов.

Адресация в прямом канале

Рис. 3. Структурная схема канала в прямом направлении

Адресация каналов.

Прямой канал cdma2000-1x для сохрания совместимости с IS95a, использует ту же самую структура для пилот-сигнала в прямом канале (F-Pilot), канала синхронизации (F-Sync) и сигнализации (F-Paging).

Так же в CDMA2000-1x каждому пользователю назначен свой прямой канал трафика (F-Traffic), в который могут входить:

Восемь дополнительных каналов (F-SCCHs) для RC1 и RC2;

Три дополнительных канала (F-SCHs) для RC3 к RC9;

Два выделенных канала управления (F-DCCHs);

F-FCHs используются для передачи голоса, F-SCCHs , и F-SCHs используются для передачи данных. Базовая приемопередающая станция может также послать нулевой или первый F-DCCHs . F-DCCH связан с каналами трафика (или с FCH и SCH , или с SCCH) и может содержать данные сигнализации и данные регулирования мощности излучения.

В данном пособии рассмотрим подробнее основные каналы:

• пилотный канал (f-pilot channel);

• канал синхронизации (f-synchronization channel);

• канал персонального вызова (f-paging channel );

• канал прямого трафика (forward traffic channel).

В режиме RC1 отображение логических каналов на физические в прямом направлении осуществляется с помощью системы ортогональных функций Уолша длины 64: w i , i = 0,1,..., 63, где i - номер функции Уолша. Стандартом CDMA-2000 предусматривается организация одного пилотного канала, одного канала синхронизации, от одного до семи каналов вызова (в зависимости от абонентской нагрузки на БС) и от 55 до 62 каналов прямого трафика, поскольку часть каналов вызова допускается использовать в качестве каналов трафика. Соответствие между логическими и физическими каналами показано на рис. 4.

Рис. 5. Структура прямого канала ССМС стандарта CDMA-2000-1х

В режиме RC3 отображение логических канал на физические осуществляется так же как и в RC1 с той лишь разницей, что благодаря применению квадратурной фазовой модуляции количество применяемых кодов Уолша увеличено с 64 до 128 - соответсвенно количество возможных адрресуемых каналов увеличено в двое по сравнению с режимом RC1.

1. Пилотный канал

Согласно рис. 5 пилотному каналу присвоена нулевая функция Уолша w 0 , т. е. последовательность из одних нулей.

2. Канал синхронизации

После блокового перемежителя поток данных подвергается прямому расширению спектра путем сложения по модулю 2 с присвоенной каналу синхронизации функцией Уолша w 32 .

3. Канал персонального вызова

После скремблирования децимированной длинной ПСП периода 2 42-1 , поток данных подвергается расширению спектра так же, как это делалось для уже рассмотренных каналов: суммируется по модулю два с отведенной каналу функцией Уолша из набора W 1 - W 7 . Далее следует объединение с остальными каналами (входы Р 1 - Р 7 на рис. 2), а затем (в модуляторе) перемножение с комплексной короткой ПСП и перенос на несущую.

4. Канал прямого трафика

В качестве канальной поднесуще используется одна из последовательностей Уолша w 8 + w 31 и w 33 + w 63 с чиповой ско­ростью 1,2288 Мчип / с, причем номер последовательности Уолша однозначно определяет номер канала прямого трафика.

Адрессация базовых станций.

Пара ПСП - I и ПСП - Q или, что эквивалентно, комплексная ПСП. Данная комплексная короткая ПСП одинакова для всех 64 CDMA - каналов и используется всеми БС системы, но с разными циклическими сдвигами. Разница в циклических сдвигах позволяет МС разделять сигналы, излучаемые БС разных сот или секторов, т. е. позволяет идентифицировать номер БС либо сектора. Для различных БС сдвиг изменяется с постоянным шагом, равным 64 чип х PILOT _ INC , где системный параметр PILOT _ INC принимает значения от 1 до 4 . Таким образом, при минимальном шаге доступны 2 15 /2 6 =2 9 =512 сдвигов коротких ПСП, т. е. возможно бесконфликтное существование сети, состоящей из 512 БС. Если же необходимо, чтобы сеть состояла из большего числа БС, то при территориальном планировании сети легко можно добиться, чтобы БС с одинаковыми циклическими сдвигами коротких ПСП не могли одновременно находиться в зоне радиовидимости МС.

С другой стороны, шаг сдвига ПСП однозначно определяет размер соты (или сектора), при котором МС с гарантией различает ПСП, имеющие минимальный временной сдвиг. Нетрудно убедиться, что при минимальном сдвиге в 64 чипа радиус соты составит порядка 15,5 км.

Адресация в обратном канале

В обратном канале (линии "вверх")

Канал доступа {access channel);

Канал обратного трафика (reverse traffic channel).

Асинхронность кодового разделения делает нерациональным применение функций Уолша в роли каналообразующих последовательностей (сигнатур) физических каналов, так как при относительных временных сдвигах они не могут сохранять ортогональность и имеют весьма непривлекательные взаимные корреляционные свойства. Поэтому за разделение каналов в линии "вверх" отвечают различные циклические сдвиги длинной ПСП периода 2 42 -1. Функции Уолша в обратном канале также используются, но в ином качестве: для организации еще одной ступени помехоустойчивого кодирования данных, передаваемых МС.

Общая структура обратного канала связи системы IS-95с иллюстрируется на рис. 6. Каналы доступа и обратного трафика, которые используются МС, ассоциированы с определенными каналами персонального вызова. В результате на один канал персонального вызова может приходиться до n = 32 каналов доcтупа и до т = 64 каналов обратного трафика.

Рис. 6. Структура обратного канала ССМС стандарта IS-95c

1. Канал доступа

Канал доступа обеспечивает соединение МС с БС, пока МС не настроилась на назначенный ей канал обратного трафика. Процесс выбора канала доступа случаен - МС произвольно выбирает номер канала из диапазона O...ACC_CHAN, где ACC_CHAN - параметр, передаваемый БС в сообщении о параметрах доступа. Ортогональный модулятор осуществляет отображение (кодирование) групп из 6 двоичных символов в некоторую функцию Уолша длины 64. Подобная операция представляет собой кодирование 6-битовых блоков (64,6) ортогональным кодом. При оптимальном ("мягком") декодировании энергетический выигрыш от использования такого кода асимптотически стремится к 4,8 дБ (45]. В то же время во многих источниках рассматриваемую процедуру именуют ортогональной модуляцией или Уолш-модуляцией . Замена 6 символьной группы на функцию Уолша производится по следующему правилу: десятичное значение 6 разрядного двоичного числа, соответствующего группе из 6 бит, однозначно определяет номер функции Уолша. Например, если на вход ортогонального модулятора подается группа из 6 символов вида (010110), то ей соответствует десятичное значе­ние 22, а значит, эта группа заменяется модулятором на функцию Уолша w 22 , состоящую из 64 символов. В результате ортогональной модуляции скорость данных возрастает до

Поток ортогонально модулированных данных подвергается прямому расширению спектра с помощью длинной ПСП с определенным циклическим сдвигом, однозначно определяющим данную МС, что позволяет идентифицировать ее на БС, а значит, осуществить кодовое разделение абонентов. Циклический сдвиг длинной ПСП определяется маской генератора длиной 42 бита, которая конструируется из идентификатора БС, номеров канала вызова и доступа.После расширения спектра (суммирования по модулю 2 с длинной ПСП и преобразования булевых символов в двуполярные) поток, следующий со скоростью чипов, т.е. 1,2288 Мчип/с, поступает в квадратурные каналы фазового модулятора, где подвергается скремблированию двумя короткими ПСП (ПСП-I и ПСП-Q) периода 2 15 . Все МС данной соты используют один и тот же сдвиг короткой ПСП. Поскольку в обратном канале применяется квадратурная ФМ со сдвигом (OQPSK), в плече Q модулятора введен элемент задержки на половину длитель­ности чипа. Применение OQPSK уменьшает глубину нежелательных провалов огибающей сигнала, а значит, сокращает требуемый линейный динамический диапазон усилителя мощности пе­редатчика МС.

Курс: Теория информации и кодирования

Тема: ДВОИЧНО-ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ

Введение

1. ФУНКЦИИ РАДЕМАХЕРА

2. ФУНКЦИИ УОЛША

3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УОЛША

4. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УОЛША

Список литературы

Введение

Широкое использование спектрально-частотного представления процессов при исследовании сигналов и систем (преобразование Фурье) связанно с тем, что при гармонических воздействиях колебания сохраняют свою форму при прохождении через линейные цепи (системы) и отличаются от входных только амплитудой и фазой. Это свойство используют ряд методов исследования систем (например, частотные методы).

Но при реализации алгоритмов, использующих преобразование Фурье на ЭВМ, необходимо выполнять большое количество операций умножения (миллионы и миллиарды), что занимает большое количество машинного времени.

В связи с развитием средств вычислительной техники и применения их для обработки сигналов широко используются преобразования, содержащие в качестве ортогонального базиса кусочно-постоянные, знакопеременные функции. Эти функции легко реализуются с помощью средств вычислительной техники (аппаратно или программно) и их использование позволяет свести к минимуму время машинной обработки (за счет исключения операции умножения).

К числу таких преобразований можно отнести преобразования Уолша и Хаара, которые широко используются в области управления и связи. В области компьютерной технике эти преобразования используются при анализе и синтезе устройств логического типа, комбинационных схем особенно использующих большие и сверхбольшие интегральные схемы (БИС и СБИС), содержащие сотни тысяч элементов, выполняющих различные логические функции. Преобразования Уолша и Хаара используют кусочно-постоянные функции Уолша, Радемахера, и др., принимающие значения ±1, либо Хаара, принимающие значения ±1 и 0 на интервале определения [-0,5, 0,5] либо .

Все эти системы взаимосвязаны и каждую из них можно получить как линейную комбинацию из другой (например: система Радемахера- составная часть системы Уолша). Обозначение функций связанных с авторами этих функций:

Уолша - Walsh - wal(n, Q),

Хаара- Haar- har(l, n ,Q),

Радемахера - Rademacher - rad(m, Q),

Адамара - Hadamard - had(h, Q),

Пели - Paley - pal(p, Q).

Все эти системы функции представляют собой системы двоично–ортогональных базисных функций.

1. Функции Радемахера

Функции Радемахера можно определить по формуле:

rad(m,Q) = sign, (1)

где 0 £ Q < 1 - интервал определения; m - номер функции; m = 0, 1, 2, ...

Для m = 0 функция Радемахера rad(0,Q) = 1.

Знаковая функция sign(x) определяется соотношением

Функции Радемахера это периодические функции с периодом 1, т. е.

rad(m,Q) = rad(m,Q+1) .

Первые четыре функции Радемахера показаны на рис. 1.

Рис. 1. Функции Радемахера

Дискретные функции Радемахера определяются дискретными значениями Q в точках отсчета. Например: Rad(2,Q) = 1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1.

Функции Радемахера ортогональные, ортонормированные (3) но являются нечетными, а значит, не образуют полную систему функций, т. к. существуют и другие функции ортогональные функциям Радемахера (например: rad(m,Q) = sign) поэтому их применение ограничено.

(3)

Полными двоично-ортогональными системами базисных функций являются системы функций Уолша и Хаара.

2. Функции Уолша

Функции Уолша представляют собой полную систему ортогональных, ортонормированных функций. Обозначение: wal(n, Q) , где n - номер функции, при этом: n = 0, 1,... N-1; N = 2 i ; i = 1, 2,… .

Первые 8 функций Уолша приведены на рис. 2.

1

Рис. 2. Функции Уолша

Функция Уолша имеет ранг и порядок. Ранг –число единиц в двоичном представлении n. Порядок - максимальный из содержащих единицу номер разряда двоичного представления. Например, функция wal(5,Q) имеет ранг- 2 а порядок –3 (n = 5 Þ 101).

Функции Уолша обладают свойством мультипликативности. Это значит, что произведение любых двух функций Уолша также является функцией Уолша: wal(k,Q)wal(l,Q)= wal(p,Q), где p = k Å l. В связи с возможностью применения к функциям Уолша логических операций, они широко используются в многоканальной связи с разделением по форме (используется также временное, частотное, фазовое и т. д. разделение), а также аппаратуре формирования и преобразования сигналов на базе микропроцессорной техники.

Функции Уолша можно получить как произведение функций Радема-хера, номер которых соответствует коду Грея номера функции Уолша. Соответствия для первых 8 функций Уолша приведены в табл. 1.

Таблица 1

N	Двоичный		Соотношения
0	000	000	wal(0,Q)=1
1	001	001	wal(1,Q)=rad(1,Q)
2	010	011	wal(2,Q)=rad(1,Q)×rad(2,Q)
3	011	010	wal(3,Q)=rad(2,Q)
4	100	110	wal(4,Q)=rad(2,Q)×rad(3,Q)
5	101	111	wal(5,Q)=rad(1,Q)×rad(2,Q)×rad(3,Q)
6	110	101	wal(6,Q)=rad(1,Q)×rad(3,Q)
7	111	100	wal(7,Q)=rad(3,Q)

Существуют различные способы упорядочения функций Уолша: по Уолшу (естественное), по Пэли, по Адамару. Нумерация функций Уолша при различных способах упорядочения (n - по Уолшу; p - по Пэли; h - по Адамару) приведена в табл. 2.

При упорядочение по Пэли номер функции определяется, как номер двоичного кода Грея прочитанный, как обычный двоичный код. Такое упорядочение называется диадическим.

При упорядочение по Адамару номер функции определяется, как двоичное представление номера функции Уолша системы Пели, прочитанное в обратном порядке такое упорядочение называется естественным.

Таблица 2

n	0	1	2	3	4	5	6	7
p	0	1	3	2	6	7	5	4
h	0	4	6	2	3	7	5	1

Как видно из таблицы, различные системы используют одни и те же функции Уолша в различной последовательности, которые равнозначны для представления сигналов, но отличаются только свойства разложения (например, функции Уолша - Пэли сходятся быстрее). При этом, каждому виду упорядочений соответствуют определенные формулы.

3. Преобразование Уолша

Рассмотрим спектральное представление сигналов с использованием базиса Уолша. Аналогично с рядом Фурье ряд Уолша имеет вид:

, (4)

где спектр Уолша

. (5)

Для проверки правильности расчета спектральных коэффициентов может быть использовано равенство Парсеваля

.

Если ограничиться N членами в разложении, то получим усеченный ряд Уолша:

,(6)

где t Î ; N=T/ D t; t = a D t при t ® ¥ a ® ¥ , a - сдвиг по оси;

wal(n,Q) после преобразования аргументов.

Для практических расчетов можно использовать формулу:

.

где: ; (7)

r - ранг спектрального коэффициента с номером a (число двоичных разрядов числа a в которых имеются 1).

i - номер подынтервала определения функции x(t) ;

При этом Г i принимает значение ±1 или 0 в зависимости от того меняет ли W a (i/N) в точке i/N знак с "+" на "-",c "-" на " +" или знак не меняется.

Пример 1. Разложить функцию x(t) = at в ряд по упорядоченным по Пэли функциям Уолша при N=8, T=1, a=1.

Решение: Определим Ф(t):

.

Определим спектральные коэффициенты с учетом функций Уолша упорядоченным по Пэли по формуле (7)

C 0 = aT/2;

C 1 = -aT/2 + 0 +0 + 0 +2(aT/4) + 0 + 0 + 0 = -aT/4;

C 2 = -aT/2 + 0 + 4aT/64) + 0 - 16aT/64 + 0 +36aT/64 +0 =-aT/8;

C 3 = aT/2 + 0 + 4aT/64) + 0 + 0 + 0 - 36aT/64 +0 = 0;

C 4 =-aT/2 + aT/64 - 4aT/64 + 9aT/64 - 16aT/64 + 25aT/64 –

- 36aT/64 + 49aT/64 =-aT/16;

C 5 =C 6 =C 7 =0.

Ряд Уолша - Пэли имеет вид:

.

Аппроксимация функции x(t) = at при а=1 и t=1 полученным рядом приведена на рис. 3.

Рис. 3. Аппроксимация функции x(t)=at рядом Уолша – Пэли

4. Дискретное преобразование Уолша

Дискретное преобразование Уолша (ДПУ) производится при использовании дискретных функций Уолша W a (i/N) Þ Wal(n, Q) и выполняется над решетчатыми сигналами x(i) , при этом число отсчетов N должно быть двоично -рациональным, т. е. N = 2 n , где n = 1, 2,... , i - определяет номер точки дискретного интервала определения a = 0, 1,..., N-1 .

Формулы дискретного ряда Уолша имеют вид:

,(9)

где дискретный спектр Уолша

. (10)

Для проверки правильности расчета спектральных коэффициентов может быть использовано равенство Парсеваля:

(11)

График дискретной функции Уолша, упорядоченных по Пели приведен на рис.

При решении многих задач анализа сложный сигнал удобно представить в виде совокупности элементарных сигналов. На практике наибольшее применение нашло представление сигнала s(t), заданного на интервале , в виде линейной комбинации некоторых элементарных функций (p t (t ), / = 0,1,2,..., называемых базисными

- норма базисной функции.

Представление сигнала в таком виде называется обобщенным рядом Фурье. Часто в качестве базисных функций используют систему тригонометрических функций

или систему комплексных экспоненциальных функций

Однако по мере развития цифровых методов передачи и обработки сигналов в последние годы в качестве базисных функций начинают использовать дискретные ортогональные последовательности в виде функций Радемахера, Уолша, Хаара и др.

Введем безразмерное время 0 = t / Т . Функции Радемахера образуются из синусоидальных функций с помощью соотношения

Иначе говоря, функции Радемахера, принимающие значения ±1, можно трактовать как функции «прямоугольного синуса». Графики первых четырех функций Радемахера имеют вид, представленный на рисунке 4.12.

Система функций Радемахера r k (0) является ортонормированной на интервале 0

Система функций Уолша является расширением системы функций Радемахера до полной системы и определяется как

где kf - значение j -го разряда в записи числа к в коде Грея. Например,

так как 5=>101 2 =>111 г. Графики первых четырех функций Уолша показаны на рисунке 4.13.

Рис. 4.13.

Функции Уолша обладают следующими свойствами:

• 1. wal k (®) = ± 1.
• 2. | wal k (0)| = 1, 2 = 1.
• 3. Функции Уолша являются периодическими wal k (©) = wal k (0 +1).
• 4. Функции Уолша являются ортогональными

5. Умножение функций Уолша дает функцию Уолша, но другого порядка wal k (0) wal n (0) = walj (0), j = к ® n ,

wal k (0 2) wal k (0 2) = wal k (0 3), 0 3 = 0j ® 0 2 , где © - сложение по модулю два.

В некоторых случаях используют функции Уолша вида

При использовании в качестве базисных функций системы функций Уолша сигнал можно представить в виде

Совокупность коэффициентов Уолша-Фурье {q} или {а к ф к } и совокупность порядковых номеров функций образуют спектр сигнала в базисе Уолша, который для краткости иногда называют S-спектром.

Например, сигнал, представляющий собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов (рис. 4.14), имеет S-спектр, определяемый по выражению (4.39).

Рис. 4.14.

прямоугольных импульсов

Пусть п= 3, тогда получим S-спектр для данного случая, показанный на рисунке 4.15.

Рис. 4.15.

Таким образом, в отличие от обычного частотного спектра S-спектр последовательности прямоугольных импульсов оказывается конечным. Следует отметить, что сдвиг импульсов во времени приводит к изменению структуры S- спектра. В частности, появляются новые составляющие. Например, для последовательности из п= 3 импульсов, сдвинутой на 0=1/16, S-спектр имеет вид, как на рисунке 4.16, в то время как при использовании тригонометрической системы функций сдвиг во времени изменяет только фазовый спектр.

В связи с возможностью применения к функциям Уолша логических операций они находят применение при разработке устройств формирования и преобразования сигналов на базе микропроцессорной техники. Сигналы на основе функций Уолша используются в цифровых многоканальных системах передачи информации.

Рис. 4.16.

сдвинутых на 0=1/16

Система функций Хаара состоит из кусочно-постоянных функций har k (0), задаваемых на интервале 0

где т - номер старшего ненулевого разряда в двоичном представлении числа

к mod2 w - величина к по модулю 2 т, это наименьший остаток от деления числа к на 2 т . Графики нескольких функций Хаара даны на рисунке 4.17.

Рис. 4.17.

Если рассматривать спектр сигнала в базисе Хаара, то, как и в случае S- спектра, при сдвиге сигнала во времени меняется структура его спектра.

Функции Хаара находят применение в системах управления и связи, при разработке цифровых фильтров, при сжатии информации - это, например, различные методы сжатия черно-белых фотографий на основе функций Хаара для последующей передачи сжатых изображений по каналам связи или их архивирования.

М. Ю. Васильева, Ф. В. Коннов, И. И. Исмагилов

ИССЛЕДОВАНИЕ НОВЫХ УПОРЯДОЧЕНИЙ ДИСКРЕТНЫХ ФУНКЦИЙ УОЛША

И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ

Ключевые слова: дискретные функций Уолша, разностно-упорядоченная система, обработка и передача данных,

автоматизированные системы управления.

Предлагается новый метод упорядочения систем дискретных функций Уолша, представлены свойства новых упорядочений, рассмотрена возможность применения синтезированных упорядочений дискретных функций Уолша в автоматизированных системах управления.

Keywords: discrete Walsh functions, difference-ordered system, processing and transfer data, automated control systems.

A new method of ordering systems of discrete Walsh functions, shows the properties of new orderings, possibility of application of the synthesized discrete orderings of Walsh functions in automatic control systems.

Введение

Повсеместное развитие информационных сетей и систем, включая автоматизированные системы управления (АСУ) различных уровней, вычислительные сети, системы автоматизированного проектирования, сбора и обработки данных, автоматизации эксперимента, массового

обслуживания, телеметрические комплексы, информационно-справочные системы, сети связи и др., привело к существенному росту информационных потоков между территориально распределенными источниками и получателями сообщений и хранению все возрастающих объемов информации различного вида в базах данных . Для повышения эффективности использования коммуникационных и информационно-вычислительных ресурсов указанных систем применяются различные методы и средства .

Среди них весьма важную роль играют методы сокращения избыточности данных, обеспечивающие сжатие объемов передаваемой или запоминаемой информации. Это позволяет значительно разгрузить каналы связи и системы обработки и хранения данных за счет исключения ненужных или дублирующихся сведений, что эквивалентно повышению пропускных способностей систем сбора, передачи и обработки данных или увеличению емкости запоминающих устройств.

Среди существующих методов сокращения избыточности данных особое место занимают методы сжатия, применяющие различные математические преобразования. Наиболее часто применяемыми при сокращении и передаче данных в автоматизированных системах управления производством и технологическими процессами являются

преобразования Фурье, Уолша и Хаара . Каждое из которых обладает рядом преимуществ, например, применение преобразований Уолша и Хаара позволяет значительно упростить и ускорить обработку информации.

Широкое использование ряда преобразований в прикладных задачах, заключается в возможности их вычисления посредством быстрых алгоритмов, которые обладают существенно меньшей

вычислительной сложностью по сравнению с классическими алгоритмами преобразований .

В статье рассматривается комплекс вопросов, связанных с применением преобразований Уолша: приводится построение новых упорядочений функций Уолша, исследование их свойств, рассматривается применение функций Уолша при выполнении преобразований.

Краткий обзор дискретных функций Уолша и их упорядочений

Ортонормированная, полная система прямоугольных функций была введена Уолшом. В отличие от тригонометрических гармоник, по которым функция раскладывается в классический ряд Фурье, функции Уолша представляют собой прямоугольные волны, которые во многих задачах обработки сигналов предпочтительнее

синусоидальных волн. В большей степени это связано с простым видом функций Уолша, каждая из которых принимает всего два значения (+1 и -1), что намного упрощает их реализации на ЭВМ.

Дискретные преобразования Уолша (ДПУ) основываются на дискретных функциях Уолша (ДФУ), которые образуются равномерными выборками непрерывных функций Уолша. Общее количество отчетов в ДФУ должно быть N = 2п, где п - любое целое положительное число.

В цифровой обработке сигналов используются преобразования в различных

упорядочениях систем ДФУ. К наиболее известным упорядочениям в практике обработки сигналов ДФУ в системе относятся следующие: секвентивное упорядочение (Уолша-Качмажа); диадическое

упорядочение (Уолша-Пэли); упорядочение в

соответствии с расположением строк в матрице

Адамара (Уолша-Адамара).

Беря за основу системы непрерывных функций Уолша с различным порядком следования функции, получаем соответственно матрицы ДПУК (дискретные преобразования Уолша-Качмажа), ДПУП (дискретные преобразования Уолша-Пэли) и ДПУА (дискретные преобразования Уолша-Адамара).

ДФУ можно описать аналитически, выразив их через дискретные функции Радемахера. Пусть

j = £ ік2 - номер функции в системе, а і = £ ік2 к=0 к к=0 К

Номер отсчета, тогда упомянутые выше матрицы преобразований имеют вид:

Матрица ДПУК

матрица ДПУП

(- 1)к £ 0ік^к(і)

(- 1)к£ 0ікіп-к

матрица ДПУА

(- 1)к£ 0ікік

где -т= - нормировочный коэффициент; л/И

РоШ = Ь = ^п-к+1 ф-!п-к’ к =1,2 п,

где ® - знак сложения по модулю 2.

Отметим, что двоичные комбинации вида

Ч0(-).Ч1С-)...Рп(-) или Рп(-),Рп-1(-), -,Р0(-)

называют соответственно кодом Грея, или инверсным кодом Грея числа -

Для матриц Уолша-Адамара справедливо следующее разбиение на подматрицы вид

Реккурентную формулу (4) можно также выразить в виде кронекеровского произведения матриц:

НАР к = НАР 0 НАР к 1 . 2к 2 2к-1

Матрицы (1-2) можно получить переупорядочением строк матрицы Уолша-Адамара, так как между упорядочениями дискретной системы Уолша размерности N существуют определенные зависимости, которые в матричной форме имеют следующий вид:

РАЬм = Б^НАР^

WALN = Б^РАІ.

матрица двоично-инверсных перестановок;

Матрица перестановки по обратному двоичному коду Грея.

Приведем в краткой форме основные свойства ДФУ. Для ДФУ справедливы следующие свойства, присущие непрерывным функциям Уолша:

1. Ортогональность. Функции Уолша

ортогональны на интервале , и наоборот.

6. Мультипликативность. Произведение двух функций Уолша равно новой функции Уолша из этой же системы.

7. Порядок и ранг функций Уолша. Функции Уолша удобно характеризовать двумя параметрами, связанными с двоичным представлением их номеров. Первый из них определяет максимальный номер ненулевого двоичного разряда числа - и называется порядком р; второй - ранг функции Уолша г - показывает число двоичных разрядов, в которых число Ш имеет единицы. Номер функции Уолша г-го ранга условно обозначают в виде -(г) и записывают в десятичной системе счисления:

где ^к (к = 1,2,...,г) - номер разряда двоичного кода Ш, содержащий единицу. Область изменения всех ^к в (8) должна удовлетворять следующей системе равенств:

М1 = 0,1,..., п - г -1;

М 2 = И + 1, . ., п _ г;

Для ранга и порядка функций Уолша справедливо следующее свойство: ранг

произведения функций Уолша не превосходит суммы их рангов; порядок произведения не превышает максимальный из порядков сомножителей. Справедливость этого свойства следует из свойств суммирования по модулю 2.

В системы ДФУ отнесены к классу моноразностных дискретных ортогональных базисов. При изучении ряда свойств базисов этого класса весьма полезны их параметры и характеристики, подробно рассмотренные в данной работе. Подход к их введению основан на том, что любой коэффициент преобразования в рассматриваемом классе базисов может быть представлен в виде взвешенной суммы конечных разностей соответствующих порядков

преобразуемого вектора £

р(і)= £ і = 0,М -1,

где Р(I) - I -ый коэффициент преобразования; Дк -оператор конечной разности к-го порядка;

ы(|,-) = ы(|,Ы-1 -^ -Ш) - 1-я весовая функция; d| -

некоторое целое число.

В этом случае базисные векторы моноразностных дискретных базисов формируются последовательностями операторов конечной разности соответствующих порядков. В дальнейшем в работе будем оперировать параметром, названным дифференциальным порядком базисной функции d|,

под которым будем подразумевать порядок операторов конечной разности, формирующих эту функцию.

Отметим, что дифференциальный порядок конкретной функции Уолша связан с ее структурными свойствами и не зависит от места расположения в системе, то есть от упорядочения базисных функций.

Важными являются также следующие свойства:

8. Для систем ДФУ, упорядоченных по Адамару и Пэли, дифференциальные порядки функций равны

Следовательно,

их рангам: количество

С = гкі, і = 0,М-1.

(к = 0,п) чк

дифференциального порядка равно величине Сп -числу сочетаний из п по к.

9. Известное свойство разложений дискретных степенных полиномов по системе Уолша-Пэли , которое можно переформулировать следующим

образом: спектр дискретного полинома к-ой (к = 0,п) степени содержит компоненты, соответствующие базисным функциям не выше к-ого

дифференциального порядка. Отметим, что аналогичное утверждение будет справедливо и для разложений по системе Уолша-Адамара.

10. Спектральные коэффициенты сигналов, достаточно хорошо описываемых дискретными степенными полиномами невысоких порядков, в пределах групп, соответствующих базисным функциям Уолша-Пэли одного дифференциального порядка, убывают по абсолютной величине с ростом их порядковых номеров.

Синтез разностно-упорядоченной системы дискретных функций Уолша

Предлагаемый метод упорядочения систем

ДФУ размерности N = 2п заключается в следующем. Строится разбиение множества порядковых номеров функций Уолша исходной системы I = {0,1 N -1}

на (п +1) подмножеств, каждое из которых включает номера функций с одинаковыми дифференциальными порядками.

|(0) = {0}, і = 0 ,

І(і) = {2М + 2М2 +... + 2М: м1 = 0,п - і,

^2 - +1,п - I +1,...^| - ^| 1 +1,п - 1}, I - 1,п - 1,

1(п) - {2п - 1}, I - п.

Затем сформированные подмножества располагают в порядке увеличения дифференциальных порядков соответствующих функций, то есть в итоге получаем множество Л - ЦЛ^.-Лп}, для которого

справедливы следующие соотношения: Л п и: - 0 и Л - Сп,1 - 0,п.

Очевидно, что множество и определяет перестановку функций Уолша в системе |0 1 ... N - 1]

Полученная в результате этой перестановки система ДФУ будет характеризоваться тем, что функции в ней располагаются группами в порядке возрастания их дифференциальных порядков. По этой причине назовем эту систему ДФУ разностноупорядоченной.

Для вектора перестановочной

последовательности будем придерживаться

обозначения Рп = (Р0,Р1....Рм-1) , где

р| - ш|,1 - 0^-1. Перестановку с использованием

этого вектора назовем перестановкой по дифференциальным порядкам базисных функций (кратко Б-перестановкой).

Рассмотрим упорядочение системы Уолша-Пэли с использованием предложенного метода. Анализ дифференциальных порядков функций Уолша-Пэли показал, что вектор Рп может быть представлен в виде объединения ряда подвекторов:

Рп - (рп0),рп1),рп2),.,рпп)) , (13)

Рп,к = 1,п-1, - подвекторы,

рекуррентными соотношениями: Рі(к)= |(2і -1), і=к,

Рі(і) = (2і - 1),і = 1, п;

определяемые

^(Р-к), 2і-1 + Р,- 1)),і = к +1, п,

Векторы Рп размерности N - 2п,п -1,5 , соответствующие перестановочным

последовательностям, представлены в табл. 1.

Сверху подчеркнуты группы

коэффициентов четных, а снизу - нечетных дифференциальных порядков.

Таблица 1 - Векторы значений перестановочной последовательности

п Вектор Рп

3 {0,1,2,4,3,5,6,7}

4 {0,1,2,4,8,3,5,6,9,10,12,7,11,13,14,15}

5 {0,1,2,4,8,16,3,5,6,9,10,12,17,18,20,24, 7,11,13,14,19,21,22,25,26,28,15,23,27,29,30,31}

С учетом введенного вектора значений перестановочной последовательности разностно-

упорядоченную систему ДФУ {РЦ^0)}(=о можно описать так:

pldN(i) = palN(pj), i = 0,N

где раі^(і) - і-я функция Уолша-Пэли.

S^PAL ^ , (І6)

Матрица D-перестановок,

элементы которой формируются так:

[о, в остальных случаях.

Следует отметить, что представленное выше упорядочение системы ДФУ получено на основе системы Уолша-Пэли. Выбор в качестве базисной системы Уолша-Пэли обусловлен легкостью

получения аналитического описания для перестановочной последовательности и матричного соотношения, формирующего предложенное упорядочение системы ДФУ.

Различные варианты разностно-

упорядоченных систем могут быть получены при выборе в качестве базисной других систем Уолша. Анализ дифференциальных порядков функций Уолша-Адамара и Уолша-Пэли показал, что вектор значений перестановочной последовательности Рр при выборе в качестве опорных матриц Уолша-Адамара также может быть представлен в виде объединения ряда подвекторов (13-14) - (табл. 2).

На основе полученного вектора значений перестановочной последовательности разностно-

описать так:

упорядоченные системы ДФУ

hddN ()= hadN (pj)i = 0,N -1

где hadN (0 - соответственно 1-е функции Уолша-Адамара.

Таблица 2 - Группы дифференциальных порядков систем Уолша-Пэли и Уолша-Адамара при N=8

j hadn,j PALn,j di pj pldn ,j di

О ООО ООО О О ООО О

І ООІ ІОО І 4 ІОО І

2 ОІО ОІО І 2 ОІО І

3 ОІІ ІІО 2 І ООІ І

4 ІОО ООІ І 6 ІІО 2

З ІОІ ІОІ 2 З ІОІ 2

6 ІІО ОІІ 2 3 ОІІ 2

7 ІІІ ІІІ 3 7 ІІІ 3

Матричная запись для введенной системы ДФУ имеет следующий вид:

Например, явный вид матрицы HDDN для N = 2 имеет следующий вид:

11 1 1 1 1 1 1 0

1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1

11 -1 -1 1 1 -1 1

1 1 1 1 -1 -1 -1 1

1 -1 -1 1 1 -1 1 2

1 -1 1 -1 -1 1 1 2

1 -1 -1 1 1 -1 1 2

1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 3

дифференциальный порядок базисной функции, расположенной в соответствующей строке матрицы.

Точная оценка М общего числа разностноупорядоченных систем ДФУ при условии, что группы базисных функций будут располагаться в порядке повышения их дифференциальных порядков, может быть определена по следующей формуле:

М =П (СП!). (18)

В работе рассмотрена возможность получения матричной записи другого варианта разностно-упорядоченной системы ДФУ. При этом используется послойно-кронекеровское

произведение матриц.

Остановимся на вопросе нумерации разностно-упорядоченных ДФУ в системе. Здесь в ряде случаев удобнее оперировать двухзначной индексацией базисных функций. Например, для рассмотренных в работе систем ДФУ она вводится следующим образом:

pld2n(i) = pld2n(l,j), i = 0,N -1, i = bnl-1 + j, l є {0,1,..., n) j є{,1,...,сП -1}.

Очевидно, что индекс l равен дифференциальному порядку базисного вектора, а индекс j - его порядковому номеру в соответствующей группе. Соотношение, описывающее зависимость между двумя видами индексации, не зависит от варианта разностноупорядоченной системы ДФУ.

Заметим, что матрицы PAL^, и DOWN

совпадают для N=2,4, а PLD^ = DOWN для N=8.

Свойства разностно-упорядоченных систем дискретных функций Уолша

свойства

отдельные введенным упорядочениям

Рассмотрим преобразований по систем ДФУ.

1. Для разностно-упорядоченных систем ДФУ

справедливы свойства ДФУ 1-7.

2. Известное свойство 8 (разложение дискретных

степенных полиномов по системе Уолша-Пэли и Уолша-Адамара) применительно к рассматриваемым разностно-упорядоченным системам ДФУ можно

сформулировать следующим образом: спектр

дискретного полинома к-ой (к = 0,П) степени разлагается по базисным функциям не выше к-ой группы.

Рассматриваемое свойство в случае

упорядочения функций Уолша-Пэли можно записать в виде следующего соотношения:

р(|,|) = 0,1> к, (20)

где Р(и)= £ 10(,и)

3. Немаловажным является свойство 9, которое

также справедливо для разностно-упорядоченных систем ДФУ: спектральные коэффициенты сигналов, достаточно хорошо описываемых дискретными

степенными полиномами невысоких порядков, в пределах групп, соответствующих базисным функциям одного дифференциального порядка, убывают по абсолютной величине с ростом их порядковых номеров.

Полученные при этих упорядочениях матрицы функций Уолша являются несимметрическими,

исключением являются тривиальные случаи матриц для порядков N = 2, 4.

4. Отметим следующее свойство, спектры

дискретных степенных полиномов низких порядков в базисах разностно-упорядоченных ДФУ

характеризуются большей степенью локализации ненулевых компонент в их начальных участках

Проиллюстрируем характер распределения ненулевых компонент спектров дискретных степенных полиномов 1(1) к-ой (к = 1,2) степени для N=16 в

базисах различных систем ДФУ.

Предварительно введем индикаторный вектор спектра Б = (зо^...^^-), определяя его элементы так

Б| = |0, р(|)=о, (21)

где Р(1) - ьый коэффициент преобразования. Одномерные дискетные степенные полиномы 10) определяются функциями вида

f(j) = Е аі]", ] = 0,Ы-1, к є г,

1 = {0,1, ... ,м -1}.

При выборе моделей сигналов часто ограничиваются полиномиальной моделью малых степеней (к є г 5). Это обусловлено тем, что ею

может быть эффективно описан широкий класс реальных сигналов на конечных интервалах.

Формулы расчета коэффициентов преобразования Р(і) одномерного полиномиального сигнала в матричном виде будут иметь следующий вид:

где - матрица ДПУ в используемом упорядочении ДФУ;

1 = |г(|), | = оТы -1} - вектор исходных данных;

Р = р(1), I = 0^ -11 - вектор спектральных

коэффициентов, Т - знак транспонирования.

Индикаторные векторы спектров в базисе Уолша-Адамара, Уолша-Качмажа, Уолша-Пэли и разностно-упорядоченных ДФУ для полиномов степени к=1 и к=2 имеют вид:

(1,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0) - для базиса Уолша-Адамара;

(1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1) - для базиса Уолша-Качмажа;

(1,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0) - для базиса Уолша-Пэли;

(1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0) - для базиса

разностно-упорядоченных ДФУ.

(1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,0,1,0,0,0) - для базиса Уолша-Адамара;

(1,1,1,1,1,0,1,1,1,0,0,0,1,0,1,1) - для базиса Уолша-Качмажа;

(1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,0,1,0,0,0) - для базиса Уолша-Пэли;

(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0) - для базиса

разностно-упорядоченных ДФУ.

Проиллюстрируем характер распределения ненулевых компонент спектров дискретных степенных двумерных полиномов 1(1, ] к-ой (к = 1,2) степени для N1* N2=8x8 в базисах ДФУ. Двумерные дискретные степенные полиномы, определяют функциями вида

Ш) = X X араір]а,

где I = 0,^ -1,] = 0,^ -1, к е 2^1,

^ -1 = {о,1, ^ - 1} .

При этом ограничимся двумерными полиномиальными моделями низких степеней ввиду того, что они являются основой ряда алгоритмов цифровой обработки сигналов.

Приведем формулы прямого

преобразования двумерного полиномиального сигнала в векторно-матричной форме:

Р = HNTfHN, (25)

где 1 = {1(1,]), I = 0,^ -1,] = 0,^ -1} - матрица

исходных данных;

Р = "Р(И),1 = 0,^ -1, ] = 0^2 -1} - матрица

спектральных коэффициентов.

Индикаторные векторы спектров для рассматриваемых случаев при к=1 показаны на рис. 1,

1 I 1 I о I 1 I □ I □ I □ I 1

00000000 1 0 0 0 0 0 0 0

00000000 1 0 0 0 0 0 0 0

Рис. 1 - Индикаторные векторы спектров при к=1 в базисе: Уолша-Адамара, Уолша-Качмажа

00000000 00000000 00000000 00000000

Рис. 2 - Индикаторные векторы спектров при к=1 в базисе: Уолша-Пэли, разностно-упорядоченных

Индикаторные векторы спектров для рассматриваемых случаев при к=2 показаны на рис. 3,

11111110 1110 10 0 0 1110 10 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1110 10 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00000000

Рис. 3 - Индикаторные векторы спектров при к=2 в базисе: Уолша-Адамара, Уолша-Качмажа

1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I о

Рис. 4 - Индикаторные векторы спектров при к=2 в базисе: Уолша-Пэли, разностно-упорядоченных

Из этих примеров видно, что спектры дискретных степенных полиномов низких порядков в базисах разностно-упорядоченных ДФУ

характеризуются большей степенью локализации ненулевых компонент в их начальных участках. Полученные свойства преобразований по разностноупорядоченным системам ДФУ имеют важное значение для их приложений в системах управления и системах связи.

1 0 □ 0 0 0 0 0

1 0 0 □ 0 0 □ 0

□ 0 0 □ 0 0 □ 0

Применение синтезированных упорядочений дискретных функций Уолша в АСУ

Успешному использованию преобразований Уолша в области управления и связи способствовало изучение следующих вопросов: свойства функций Уолша; свойства спектров Уолша; общие вопросы применения функций Уолша при выполнении преобразований; алгоритмы быстрого преобразования Уолша; вычисление корреляционных функций и выполнение сверток на базе функций Уолша; применение функций Уолша для исследования случайных процессов; использование функций Уолша при построении цифровых фильтров.

Благодаря общим свойствам 1-7 с известными ДФУ (в упорядочениях Уолша-Качмажа, Уолша-Пэли, Уолща-Адамара) синтезированные разностно-упорядоченные

системы ДФУ могут найти эффективное применение в области автоматического управления технологическими процессами. Например, является актуальным применение преобразований Уолша при анализе динамики линейных и нелинейных систем, разработке систем оптимального управления, моделировании процессов, идентификации объектов, разработке ряда специальных устройств автоматики .

Практически важным для АСУ является предоженное X. Хармутом использование функций Уолша для формирования сигналов, передаваемых по линиям радиосвязи . Функции Уолша применены при разработке многоканальных систем связи, в которых одновременно передаются различные сигналы по каждому каналу связи. Использование разностно-упорядоченных систем ДФУ (свойство 2) позволит обеспечить многопотоковую обработку данных, при этом каждый поток будет включать элементы группы трансформант соответствующего

дифференциального порядка, что значительно ускорить обработку данных.

В настоящее время для решения многих задач в АСУ технологическими процессами и производством применяется вейвлет-

преобразование. Например, в ОАО "Татнефть" вейвлет-преобразование испольуется для подавления шумов и сжатия массивов данных с глубинных манометров , или при передаче динамограмм полученных с датчиков динамометрирования на диспетчерский пункт . Во многих случаях недостаточная степень сжатия данных при выполнении ДПУ сдерживает широкое применение данных преобразований. Свойство 2 полученное для разностно-упорядоченных систем ДФУ позволит значительно увеличить степень сжатия данных и способствует применению в перечисленных выше задачах.

Одной из важных задач в АСУ является задача передачи данных по каналам связи. При этом широкое распространение получили 8СЛЭЛ-

системы. Известны также решения, в которых функции 8СЛЭЛ-системы реализованы с помощью интернет-программирования, в ОАО «Газ-Сервис» (Республика Башкортостан) внедрены в эксплуатацию несколько автоматизированных систем дистанционного мониторинга оборудования газораспределительной сети . Для передачи данных по сети эффективное применение могут найти разностно-упорядоченные системы ДФУ (свойство 4).

В работе авторами были предложены алгоритмы с использованием преобразований Уолша и сравнительный анализ их эффективности. Использование в представленных алгоритмах для передачи данных разностно-упорядоченных систем ДФУ позволит обеспечить последовательную передачу потоков выходных данных при высокой скорости обработки и передачи данных по сети.

Полученные свойства новых упорядоченний дискретных функций Уолша имеют важное значение для их приложений в системах управления и системах связи. Синтезированные разностно-упорядоченные