Геометрические тела, их поверхности и объёмы. Какие геометрические тела бывают Геометрическое тело состоящее из 6 граней

Разделы: Технология

Цели урока:

• закрепить знания о геометрических телах, умения и навыки по построению чертежей многогранников;
• развивать пространственные представления и пространственное мышление;
• формировать графическую культуру.

Тип урока: комбинированный.

Оснащение урока: интерактивная доска MIMIO, мультимедийный проектор, компьютеры, проект mimo для интерактивной доски, мультимедийная презентация, программа «Компас-3D LT».

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

1. Приветствие;

2. Проверка явки учащихся;

3. Проверка готовности к уроку;

4. Заполнение классного журнала (и электронного)

II. Повторение раннее изученного материала

На интерактивной доске открыт проект mimo

Лист 1. На уроках математики вы изучали геометрические тела. Несколько тел вы видите на экране. Давайте вспомним их названия. Учащиеся дают названия геометрическим телам, если есть затруднения – помогаю. (Рис. 1).

1 – четырехугольная призма
2 – усеченный конус
3 – треугольная призма
4 – цилиндр
5 – шестиугольная призма
6 – конус
7 – куб
8 – усеченная шестиугольная пирамида

Лист 4 . Задание 2. Даны геометрические тела и названия геометрических тел. Вызываем ученика к доске и вместе с ним перетаскиваем многогранники и тела вращения под названия, а затем перетаскиваем названия геометрических тел (рис. 2).

Делаем вывод, что все тела делятся на многогранники и тела вращения.

Включаем презентацию «Геометрические тела» (Приложение ). Презентация содержит 17 слайдов. Можно использовать презентацию на нескольких уроках, она содержит дополнительный материал (слайды 14-17). Со слайда 8 есть гиперссылка на Презентацию 2 (развертки куба). Презентация 2 содержит 1 слайд, на котором изображены 11 разверток куба (они являются ссылками на видеоролики). На уроке использована интерактивная доска MIMIO, а также учащиеся работают на компьютерах (выполнение практической работы).

Слайд 2. Все геометрические тела делятся на многогранники и тела вращения. Многогранники: призма и пирамида. Тела вращения: цилиндр, конус, шар, тор. Схему учащиеся перечерчивают в рабочую тетрадь.

III. Объяснение нового материала

Слайд 3. Рассмотрим пирамиду. Записываем определение пирамиды. Вершина пирамиды – общая вершина всех граней, обозначается буквой S. Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды (Рис. 3).

Слайд 4. Правильная пирамида. Если основание пирамиды - правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания, то - пирамида правильная.
В правильной пирамиде все боковые ребра равны, все боковые грани равные равнобедренные треугольники.
Высота треугольника боковой грани правильной пирамиды называется - апофема правильной пирамиды .

Слайд 5. Анимация построения правильной шестиугольной пирамиды с обозначением ее основных элементов (Рис. 4).

Слайд 6 . Записываем в тетрадь определение призмы. Призма – многогранник, у которого два основания (равные, параллельно расположенные многоугольники), а боковые грани параллелограммы. Призма может быть четырехугольной, пятиугольной, шестиугольной и т.д. Призма называется по фигуре, лежащей в основании. Анимация построения правильной шестиугольной призмы с обозначением ее основных элементов (Рис. 5).

Слайд 7. Правильная призма – это прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. Параллелепипед – правильная четырехугольная призма (Рис. 6).

Слайд 8. Куб – параллелепипед, все грани которого квадраты (Рис. 7).

(Дополнительный материал: на слайде есть гиперссылка на презентацию с развертками куба, всего 11 разных разверток).
Слайд 9. Записываем определение цилиндра.Тело вращения – цилиндр, образованное вращением прямоугольника вокруг оси, проходящей через одну из его сторон. Анимация получения цилиндра (Рис. 8).

Слайд 10. Конус – тело вращения, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг оси, проходящей через один из его катетов (Рис.9).

Слайд 11. Усеченный конус – тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции вокруг оси, проходящей через ее высоту (Рис. 10).

Слайд 12. Шар – тело вращения, образованное вращением круга вокруг оси, проходящей через его диаметр (Рис. 11).

Слайд 13. Тор – тело вращения, образованное вращением круга вокруг оси, параллельной диаметру круга (Рис. 12).

Учащиеся записывают определения геометрических тел в тетрадь.

IV. Практическая работа«Построение чертежа правильной призмы»

Переключаемся на проект mimio

Лист 7 . Дана треугольная правильная призма. В основании лежит правильный треугольник. Высота призмы = 70 мм, а сторона основания = 40 мм. Рассматриваем призму (направление главного вида показано стрелкой), определяем плоские фигуры, который мы увидим на виде спереди, сверху и слева. Вытаскиваем изображения видов и расставляем на поле чертежа (Рис. 13).

Учащиеся самостоятельно выполняют чертеж правильной шестиугольной призмы в программе «Компас – 3D». Размеры призмы: высота – 60 мм, диаметр описанной окружности вокруг основания – 50 мм.
Построение чертежа с вида сверху (Рис. 14).

Затем строится вид спереди (Рис. 15).

Затем строится вид слева и наносятся размеры (Рис. 16).

Работы проверяются и сохраняются на компьютерах учащимися.

V. Дополнительный материал по теме

Слайд 14 . Правильная усеченная пирамида (Рис. 17).

Слайд 15. Пирамида, усеченная наклонной плоскостью (Рис. 18).

Слайд 16. Развертка правильной треугольной пирамиды (Рис. 19).

Слайд 17. Развертка параллелепипеда (Рис. 20).

ТЕОРИЯ МНОГОГРАННИКОВ

Гранные геометрические тела

Гранным геометрическим телом или многогранником называют часть пространства, ограниченную совокупностью конечного числа плоских многоугольников, соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной другого одного многоугольника (называемого смежным), причем вокруг каждой вершины существует один цикл многоугольников. Упрощая вышеизложенное определение, получаем определение многогранника, знакомое из школьного учебника.

Многогранник - геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника, а концы ребер - вершинами многогранника.

Из истории

Греческая математика, в которой впервые появилась теория многогранников, развивалась под большим влиянием знаменитого мыслителя Платона.

Платон (427–347 до н.э.) – великий древнегреческий философ, основатель Академии и родоначальник традиции платонизма. Одним из существенных черт его учения является рассмотрение идеальных объектов - абстракций. Математика, взяв на вооружение идеи Платона, со времен Евклида изучает именно абстрактные, идеальные объекты. Однако и сам Платон, и многие древние математики вкладывали в термин идеальный не только смысл абстрактный, но и смысл наилучший. В соответствии с традицией, идущей от древних математиков, среди всех многогранников лучшие те, которые имеют своими гранями правильные многоугольники.

Многогранники можно классифицировать по нескольким признакам: например, по числу граней различают четырехгранники, пятигранники и т. д.

Различают правильные и полуправильные многогранники. Правильными называют такие многогранники, у которых все грани - правильные равные многоугольники и все углы при вершинах равны. Если гранями многогранника являются различные правильные многоугольники, то получается многогранник, который называется полуправильным (равноугольно полуправильным). Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники (возможно, и с разным числом сторон), и все многогранные углы равны.

Кроме правильных и полуправильных многогранников красивые формы имеют так называемые правильные звездчатые многогранники. Они получаются из правильных многогранников продолжением граней или ребер аналогично тому, как правильные звездчатые многоугольники получаются продолжением сторон правильных многоугольников.

Из множества многогранников выделим наиболее известные: призму и пирамиду (рис. 1).

Призмой называют многогранник, у которого две одинаковые взаимно параллельные грани - основания, а остальные - боковые грани – параллелограммы.

Пирамида представляет собой многогранник, у которого одна грань - произвольный многоугольник - принимается за основание, а остальные грани (боковые) - треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды.

На рис. 2 представлены несколько призм и пирамид. Пирамида, основание которой имеет форму треугольника, называется треугольной пирамидой. Так, можно говорить о квадратных, пятиугольных и т.д. пирамидах рис. 2, а и 2, б . Основанием треугольной пирамиды может служить любая грань.

На рис. 2, в, 2, г и 2, д приведены примеры некоторого класса многогранников, вершины которых можно разделить на два множества из одинакового числа точек; точки каждого из этих множеств являются вершинами р-угольника, причем плоскости обоих p-угольников параллельны. Если эти два р-угольника (основания) конгруэнтны и расположены так, что вершины одного р-угольника соединены с вершинами другого р-угольника параллельными прямолинейными отрезками, то такой многогранник называется р-угольной призмой. Примерами двух р-угольных призм могут служить треугольная призма (р = 3) на рис. 2, в и пятиугольная призма (р = 5) на рис. 2, г . Если же основания расположены так, что вершины одного р-угольника соединены с вершинами другого р-угольника зигзагообразной ломаной, состоящей из 2р прямолинейных отрезков, как на рис. 2, д , то такой многогранник называется р-угольной антипризмой.

Кроме двух оснований, у р-угольной призмы имеются р граней - параллелограммов. Если параллелограммы имеют форму прямоугольников, то призма называется прямой. У такой призмы ребра боковых граней перпендикулярны основанию. Призму, у которой основания не параллельны, называют усеченной.

2. Правильные многогранники. Выпуклый многогранник называется правильным, если он удовлетворяет следующим двум условиям:

Все его грани - конгруэнтные правильные многоугольники;

К каждой вершине примыкает одно и то же число граней.

Если все грани правильного многогранника правильные многоугольники, то в правильных многогранниках все плоские, многогранные и двугранные углы равны.

Если все грани - правильные р-угольники и q из них примыкают к каждой вершине, то такой правильный многогранник обозначается {p, q}. Первое число в скобках указывает, сколько сторон у каждой грани, второе - число граней, примыкающих к каждой вершине. Это обозначение было предложено Л. Шлефли (1814-1895), швейцарским математиком, которому принадлежит немало изящных результатов в геометрии и математическом анализе. Существуют невыпуклые многогранники, у которых грани пересекаются и которые называются "правильными звездчатыми многогранниками". В геометрии условно под правильными многогранниками понимают исключительно выпуклые правильные многогранники

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном.

Существует 5 видов правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

ТЕТРАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из четырех правильных треугольников.

ГЕКСАЭДР (КУБ) – правильный многогранник, поверхность которого состоит из шести правильных четырехугольников (квадратов

ОКТАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из восьми правильных треугольников.

ДОДЕКАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двенадцати правильных пятиугольников.

ИКОСАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двадцати правильных треугольников.

Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней:

«эдра» - грань;

«тетра» - 4;

«гекса» - 6;

«окта» - 8;

«икоса» - 20;

«додека» - 12.

На рис. 3 изображены правильные многогранники

Из истории

Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим. Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

Древние греки рассматривали додекаэдр как форму Вселенной. Ими исследовались также и многие геометрические свойства платоновых тел; с плодами их изысканий можно ознакомиться по 13-й книге Начал Евклида.

Изучение платоновых тел и связанных с ними фигур продолжается и поныне. И хотя основными мотивами современных исследований служат красота и симметрия, они имеют также и некоторое научное значение, особенно в кристаллографии. Кристаллы поваренной соли, тиоантимонида натрия и хромовых квасцов встречаются в природе в виде куба, тетраэдра и октаэдра соответственно. Икосаэдр и додекаэдр среди кристаллических форм не встречаются, но их можно наблюдать среди форм микроскопических морских организмов, известных под названием радиолярий.

Свойства правильных многогранников . Вершины любого правильного многогранника лежат на сфере (что вряд ли вызовет удивление, если вспомнить, что вершины любого правильного многоугольника лежат на окружности). Помимо этой сферы, называемой "описанной сферой", имеются еще две важные сферы. Одна из них, "срединная сфера", проходит через середины всех ребер, а другая, "вписанная сфера", касается всех граней в их центрах. Все три сферы имеют общий центр, который называется центром многогранника.

Число правильных многогранников . Естественно спросить, существуют ли кроме платоновых тел другие правильные многогранники.

Платоновы тела - трехмерный аналог плоских правильных многоугольников. Однако между двумерным и трехмерным случаями есть важное отличие: существует бесконечно много различных правильных многоугольников, но лишь пять различных правильных многогранников. Доказательство этого факта известно уже более двух тысяч лет; этим доказательством и изучением пяти правильных тел завершаются Начала Евклида

Как показывают следующие простые соображения, ответ должен быть отрицательным. Пусть {p, q} - произвольный правильный многогранник. Так как его гранями служат правильные р-угольники, их внутренние углы, как нетрудно показать, равны (180 - 360/р) или 180 (1 - 2/р) градусам. Так как многогранник {p, q} выпуклый, сумма всех внутренних углов по граням, примыкающим к любой из его вершин, должна быть меньше 360 градусов. Но к каждой вершине примыкают q граней, поэтому должно выполняться неравенство.

где символ < означает "меньше чем". После несложных алгебраических преобразований полученное неравенство приводится к виду

Нетрудно видеть, что p и q должны быть больше 2. Подставляя в (1) р = 3, мы обнаруживаем, что единственными допустимыми значениями q в этом случае являются 3, 4 и 5, т.е. получаем многогранники {3, 3}, {3, 4} и {3, 5}. При р = 4 единственным допустимым значением q является 3, т.е. многогранник {4, 3}, при р = 5 неравенству (1) также удовлетворяет только q = 3, т.е. многогранник {5, 3}. При p > 5 допустимых значений q не существует. Следовательно, других правильных многогранников, кроме тел Платона, не существует.

3. Полуправильные многогранники. Выше мы рассмотрели правильные многогранники, т.е. такие выпуклые многогранники, гранями которых являются равные правильные многоугольники, и в каждой вершине которых сходится одинаковое число граней. Если в этом определении допустить, чтобы гранями многогранника могли быть различные правильные многоугольники, то получим многогранники, которые называются полуправильными (равноугольно полуправильными).

Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники (возможно, и с разным числом сторон), и все многогранные углы равны.

К полуправильным многогранникам относятся правильные n-угольные призмы, все ребра которых равны. Например, правильная пятиугольная призма на рисунке 4, а имеет своими гранями два правильных пятиугольника - основания призмы и пять квадратов, образующих боковую поверхность призмы. К полуправильным многогранникам относятся и так называемые антипризмы. На рисунке 4, б мы видим пятиугольную антипризму, полученную из пятиугольной призмы поворотом одного из оснований относительно другого на угол 36. Каждая вершина верхнего и нижнего оснований соединена с двумя ближайшими вершинами другого основания.

а б в

Кроме этих двух бесконечных серий полуправильных многогранников имеется еще 13 полуправильных многогранников которые впервые открыл и описал Архимед - это тела Архимеда.

Самые простые из них получаются из правильных многогранников операцией "усечения", состоящей в отсечении плоскостями углов многогранника. Если срезать углы тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получим усеченный тетраэдр, имеющий восемь граней (рис. 4, в ). Из них четыре - правильные шестиугольники и четыре - правильные треугольники. В каждой вершине этого многогранника сходятся три грани.

Если указанным образом срезать вершины октаэдра и икосаэдра, то получим соответственно усеченный октаэдр (рис. 5, а) и усеченный икосаэдр (рис. 5, б). Обратите внимание на то, что поверхность футбольного мяча изготавливают в форме поверхности усеченного икосаэдра. Из куба и додекаэдра также можно получить усеченный куб (рис. 5,в) и усеченный додекаэдр (рис. 5, г).

а б в г

Мы рассмотрели 4 из 13 описанных Архимедом полуправильных многогранников. Оставшиеся - многогранники более сложного типа.

Из истории

Весьма оригинальна космологическая гипотеза Кеплера, в которой он попытался связать некоторые свойства Солнечной системы со свойствами правильных многогранников. Кеплер предположил, что расстояния между шестью известными тогда планетам выражаются через размеры пяти правильных выпуклых многогранников (Платоновых тел). Между каждой парой небесных сфер, по которым, согласно этой гипотезе, вращаются планеты, Кеплер вписал одно из Платоновых тел. Вокруг сферы Меркурия, ближайшей к Солнцу планеты, описан октаэдр. Этот октаэдр вписан в сферу Венеры, вокруг которой описан икосаэдр. Вокруг икосаэдра описана сфера Земли, а вокруг этой сферы - додекаэдр.

Серьезный шаг в науке о многогранниках был сделан в XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783), который без преувеличения «поверил алгеброй гармонию». Теорема Эйлера о соотношении между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника, доказательство которой Эйлер опубликовал в 1758 г. в «Записках Петербургской академии наук», окончательно навела математический порядок в многообразном мире многогранников.

Вершины + Грани - Рёбра = 2.

Элементы симметрии правильных многогранников

Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие - в виде вирусов, простейших микроорганизмов

Звездчатые многогранники

Звездчатые многогранники получаются из правильных многогранников продолжением граней или ребер аналогично тому, как правильные звездчатые многоугольники получаются продолжением сторон правильных многоугольников.

Первые два правильных звездчатых многогранника были открыты И. Кеплером (1571-1630), а два других почти 200 лет спустя построил французский математик и механик Л. Пуансо (1777-1859). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники называются телами Кеплера-Пуансо.

В работе "О многоугольниках и многогранниках" (1810) Пуансо описал четыре правильных звездчатых многогранника, но вопрос о существовании других таких многогранников оставался открытым. Ответ на него был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком О. Коши (1789-1857). В работе "Исследование о многогранниках" он доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует.

Рассмотрим вопрос о том, из каких правильных многогранников можно получить правильные звездчатые многогранники. Из тетраэдра, куба и октаэдра правильные звездчатые многогранники не получаются. Возьмем додекаэдр. Продолжение его ребер приводит к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником (рис. 30,а), и в результате возникает многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром (рис. 30,б).

При продолжении граней додекаэдра возникают две возможности. Во-первых, если рассматривать правильные пятиугольники, то получится так называемый большой додекаэдр (рис. 31). Если же, во-вторых, в качестве граней рассматривать звездчатые пятиугольники, то получается большой звездчатый додекаэдр (рис. 32).

Икосаэдр имеет одну звездчатую форму. При продолжении граней правильного икосаэдра получается большой икосаэдр (рис. 33).

Таким образом, существуют 4 типа правильных звездчатых многогранников.

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений.

Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки - это звездчатые многогранники (рис 34). С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

Похожая информация.

Первые геометрические понятия возникли в доисторические времена. Разные формы материальных тел наблюдал человек в природе: формы растений и животных, гор и извилин рек, круга и серпа Луны и т. п. Однако человек не только пассивно наблюдал природу, но практически осваивал и использовал ее богатства. Практическая деятельность человека служила основой открытия простейших геометрических зависимостей и соотношений.

Многогранники

В памятниках вавилонской и древнеегипетской архитектуры встречаются такие геометрические фигуры, как куб, параллелепипед, призма. Важнейшей задачей египетской и вавилонской геометрии было определение объема различных пространственных фигур. Эта задача отвечала необходимости строить дома, дворцы, храмы и другие сооружения.

Часть геометрии, в которой изучаются свойства куба, призмы, параллелепипеда и других геометрических тел и пространственных фигур, издавна называется стереометрией; Слово это греческого происхождения и встречается еще у знаменитого древнегреческого философа Аристотеля. Стереометрия возникла позже, чем планиметрия. Евклид дает следующее определение призмы: "Призма есть телесная фигура, заключенная между плоскостями, из которых две противоположные равны и параллельны, остальные же -параллелограммы". Тут, как и во многих других местах, Евклид употребляет термин "плоскость" не в смысле безгранично продолженной плоскости, а в смысле ограниченной ее части, грани, подобно тому как "прямая" означает у него и отрезок прямой.

Термин "призма" греческого происхождения и буквально означает "отпиленное" . Термин "параллелепипедальное тело" встречается впервые у Евклида и означает дословно "параллеле-плоскостное тело". Греческое слово "кубос" употребляется Евклидом в том же смысле, что и наше слово "куб".

Поверхность составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будет называть многогранной поверхностью или многогранником. Виды многогранников: параллелепипед, призма, пирамида.

Призма

Многогранник, составленный из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и параллелограммов, называется призмой. Многоугольники называются основаниями, а параллелограммы – боковыми гранями призмы. Отрезки называются боковыми ребрами призмы.

Если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой.

Если в основании прямой призмы лежат правильные многоугольники, то призма называется правильной.

Параллелепипед

Если в основании призмы лежит параллелограмм, то призма называется параллелепипедом. Параллелепипеды бывают наклонные, прямые и прямоугольные.

Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения: длину, высоту и ширину. У параллелепипеда 8 вершин, 12 ребер, 6 граней. Каждая грань параллелепипеда – прямоугольник. Противоположенные грани параллелепипеда равны. Среди всех параллелепипедов особую роль играет куб. Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все стороны равны. Все его грани – квадраты.

Пирамида

Важным и интересным семейством многогранников является пирамида. У пирамиды различают основание и боковые грани. Боковые грани – треугольники, сходящиеся в одной вершине, а основание – многоугольник, противолежащий этой вершине. В основании может лежать многоугольник с любым количеством сторон. Пирамиду называют по числу сторон ее основания: треугольная пирамида, четырехугольная пирамида, шестиугольная пирамида… Простейшей пирамидой и даже простейшем многогранником является треугольная пирамида. Все ее грани – треугольники, и каждая из них может считаться основанием.

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, и вершина пирамиды проектируется в центр этого многоугольника. Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Многогранник, гранями которого является многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, и четырехугольников - боковые грани называют усеченной пирамидой.

Правильные многогранники

Правильным называют многогранник, все грани которого – равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Виды правильных многоугольников

Правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников.

Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников.

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников.

Куб составлен из шести квадратов. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов.

Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех правильных пятиугольников.

Круглые тела

Круглые тела имеют круглую форму. Также могут состоять из нескольких окружностей, круглые тела образуются с помощью вращения квадратной плоскости. В таких фигурах также есть свои особенности, например, существует сложные круглые тела. Примеры круглых тел: цилиндр, конус, сфера и шар.

Цилиндр

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами, называют цилиндром. Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги основаниями цилиндра. Образующие цилиндрической поверхностью называются образующими цилиндра, прямая 001 - осью цилиндра. Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями.

Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра.

Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра.

Прямая, проходящая через центры оснований, называется осью цилиндра.

Длина образующей называется высотой, а радиус основания – радиусом цилиндра.

Конус

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей, называется конусом. Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса, а круг – основанием конуса. Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Усеченный конус

Если взять секущую плоскость, и провести ей по конусу, перпендикулярно к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет из себя конус, а другая называется усеченным конусом. Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок соединяющие их центры, - высотой усеченного конуса.

Часть конической поверхности, ограничивающая конус, называется ее боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называется образующими усеченного конуса. Все образующие усеченного конуса равны друг другу.

Шар и сфера

Сферой называют поверхность, состоящая из все точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром сферы, а донное расстояние радиусом сферы.

Тело, ограниченное сферой называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

English: Wikipedia is making the site more secure. You are using an old web browser that will not be able to connect to Wikipedia in the future. Please update your device or contact your IT administrator.

中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器，这在将来无法连接维基百科。请更新您的设备或联络您的IT管理员。以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。

Español: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrador informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Wikipédia va bientôt augmenter la sécurité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus techniques et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ウィキペディアではサイトのセキュリティを高めています。ご利用のブラウザはバージョンが古く、今後、ウィキペディアに接続できなくなる可能性があります。デバイスを更新するか、IT管理者にご相談ください。技術面の詳しい更新情報は以下に英語で提供しています。

Deutsch: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Italiano: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stai usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

We are removing support for insecure TLS protocol versions, specifically TLSv1.0 and TLSv1.1, which your browser software relies on to connect to our sites. This is usually caused by outdated browsers, or older Android smartphones. Or it could be interference from corporate or personal "Web Security" software, which actually downgrades connection security.

You must upgrade your web browser or otherwise fix this issue to access our sites. This message will remain until Jan 1, 2020. After that date, your browser will not be able to establish a connection to our servers.