Дифференцирование сложных и неявных функции нескольких переменных. §6 Частные производные сложных функций нескольких переменных Неявное дифференцирование

Формула производной функции, заданной неявно. Доказательство и примеры применения этой формулы. Примеры вычисления производных первого, второго и третьего порядка.

Производная первого порядка

Пусть функция задана неявным образом с помощью уравнения
(1) .
И пусть это уравнение, при некотором значении , имеет единственное решение . Пусть функция является дифференцируемой функцией в точке , причем
.
Тогда, при этом значении , существует производная , которая определяется по формуле:
(2) .

Доказательство

Для доказательства рассмотрим функцию как сложную функцию от переменной :
.
Применим правило дифференцирования сложной функции и найдем производную по переменной от левой и правой частей уравнения
(3) :
.
Поскольку производная от постоянной равна нулю и , то
(4) ;
.

Формула доказана.

Производные высших порядков

Перепишем уравнение (4), используя другие обозначения:
(4) .
При этом и являются сложными функциями от переменной :
;
.
Зависимость определяет уравнение (1):
(1) .

Находим производную по переменной от левой и правой части уравнения (4).
По формуле производной сложной функции имеем:
;
.
По формуле производной произведения :

.
По формуле производной суммы :


.

Поскольку производная правой части уравнения (4) равна нулю, то
(5) .
Подставив сюда производную , получим значение производной второго порядка в неявном виде.

Дифференцируя, аналогичным образом, уравнение (5), мы получим уравнение, содержащее производную третьего порядка :
.
Подставив сюда найденные значения производных первого и второго порядков, найдем значение производной третьего порядка.

Продолжая дифференцирование, можно найти производную любого порядка.

Примеры

Пример 1

Найдите производную первого порядка от функции, заданной неявно уравнением:
(П1) .

Решение по формуле 2

Находим производную по формуле (2):
(2) .

Перенесем все переменные в левую часть, чтобы уравнение приняло вид .
.
Отсюда .

Находим производную по , считая постоянной.
;
;
;
.

Находим производную по переменной , считая переменную постоянной.
;
;
;
.

По формуле (2) находим:
.

Мы можем упростить результат если заметим, что согласно исходному уравнению (П.1), . Подставим :
.
Умножим числитель и знаменатель на :
.

Решение вторым способом

Решим этот пример вторым способом. Для этого найдем производную по переменной левой и правой частей исходного уравнения (П1).

Применяем :
.
Применяем формулу производной дроби :
;
.
Применяем формулу производной сложной функции :
.
Дифференцируем исходное уравнение (П1).
(П1) ;
;
.
Умножаем на и группируем члены.
;
.

Подставим (из уравнения (П1)):
.
Умножим на :
.

Пример 2

Найти производную второго порядка от функции , заданной неявно с помощью уравнения:
(П2.1) .

Дифференцируем исходное уравнение, по переменной , считая что является функцией от :
;
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.

Дифференцируем исходное уравнение (П2.1):
;
.
Из исходного уравнения (П2.1) следует, что . Подставим :
.
Раскрываем скобки и группируем члены:
;
(П2.2) .
Находим производную первого порядка:
(П2.3) .

Чтобы найти производную второго порядка, дифференцируем уравнение (П2.2).
;
;
;
.
Подставим выражение производной первого порядка (П2.3):
.
Умножим на :

;
.
Отсюда находим производную второго порядка.

Пример 3

Найти производную третьего порядка при от функции , заданной неявно с помощью уравнения:
(П3.1) .

Дифференцируем исходное уравнение по переменной считая, что является функцией от .
;
;
;
;
;
;
(П3.2) ;

Дифференцируем уравнение (П3.2) по переменной .
;
;
;
;
;
(П3.3) .

Дифференцируем уравнение (П3.3).
;
;
;
;
;
(П3.4) .

Из уравнений (П3.2), (П3.3) и (П3.4) находим значения производных при .
;
;
.

Известно, что функция y= f(x)может быть задана неявно с помощью уравнения, связывающем переменные х и у:

F(x,y) =0.

Сформулируем условия, при которых уравнение F(x,y )=0 определяет одну из переменных как функция другой. Справедлива следующая

Теорема (существования неявной функции) Пусть функция F(x,y )=0 удовлетворяет следующим условиям:

1) существует точка P˳(х˳,у˳), в которой F(x˳,y˳)=0

2) F’y(x˳,y˳)≠ 0

3) функции F’x (x ,y )и F’y (x ,y ) непрерывны в некоторой окрестности точки

P 0 (x 0 ,y 0).

Тогда существует единственная функция y =f (x), определенная на некотором интервале, содержащем точку, и удовлетворяющая при любом х из этого интервала уравнениюF(x,y)=0 , такая что f(x 0)= y0

Если у есть неявная функция от х , то есть она определяется из уравнения F (х , у ) = 0, то, предполагая, что у есть функция от х , мы получаем тождество F (х , у (х )) = 0, которое можно рассматривать как константу-функцию. Дифференцируя эту константу-функцию, получим:

Если в этом соотношении , то можно найти .

Дифференцируя соотношение (1) ещё раз, получим:

Соотношение (2) можно рассматривать как уравнение для определения второй производной. Дифференцируя соотношение (2) ещё раз, получим уравнение для определения третьей производной и т. д.

Производная по направлению. Вектор направления для случая двух и трех переменных (направляющие косинусы). Приращение функции по заданному направлению. Определение производной по направлению, ее выражение через частные производные. Градиент функции. Взаимное положение градиента и линии уровня в данной точке для функции двух переменных.

Производной z’I по направлению I функции двух переменных z=f(x;y) называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения ∆I при стремлении последней к 0: z’i=lim∆iz /∆I

Производная z’ I характеризует скорость изменения функции в направлении i.

Если функция z=f(x;y) имеет в точке М(x;y) непрерывные частные производные, то в этой точке существует производная по любому направлению, исходящему из точки М(x;y), которая вычисляется по формуле z’i=z’xˑcosα+z"yˑcosβ,где cosα, cosβ- направляющие к4осинусы вектора .

Градиентом функции z=f(x,y) называется вектор с координатами f’x, f’y. Обозначается z=(f’x,f’y) или .

Производная по направлению равна скалярному произведению градиента и единичного вектора, задающего направление I.

Вектор z в каждой точке направлен по нормали к линии уровня, проходящей через данную точку в сторону возрастания функции.

Частные производные f’x и f’y представляют собой производные функции z=f(x,y) по двум частным направлениям осей Ox и Oу.

Пусть z=f(x,y)- дифференцируемая функция в некоторой области D, M(x,y) . Пусть I – некоторое направление (вектор с началом в точке М),а =(cosα;cosβ).

При перемещении в данном направлении I точки М(х,у) в точку М1(х+∆х;y+∆y) функция z получит приращение ∆iz=f(x+∆х;y+∆y)-f(x;y) называемое приращением функции z в данном направлении I.

Если MM1=∆I то ∆x=∆icosα, ∆y=∆icosβ, следовательно, ∆iz=f(x+∆icosα; y+∆icosβ)-f(x;y).

Функция Z= f(х; у) называется неявной, если она задается уравнением F(x,y,z)=0 неразрешенным относительноZ. Найдем частные производныефункцииZзаданной неявно. Для этого подставив в уравнение вместоZфункцию f(х;у) получим тождествоF(x,y, f(х,у))=0. Частные производные поxи yфункции, тождественно равной нулю, также равны нулю.

F(x,y, f (х, у)) =
=0 (yсчитаем постоянным)

F(x,y, f (х, у)) =
=0 (xсчитаем постоянным)

Откуда
и

Пример : Найти частные производные функцииZзаданной уравнением
.

Здесь F(x,y,z)=
;
;
;
. По формулам приведенным выше имеем:

и

1. Производная по направлению

Пусть функция двух переменных Z= f(x; у) задана в некоторой окрестности т. М (x,y). Рассмотрим некоторое направление, определяемое единичным вектором
, где
(см. рис.).

На прямой, проходящей по этому направлению через т. М возьмем т. М 1 (
) так, что длина
отрезкаMM 1 равна
. Приращение функцииf(M) определяется соотношением, где
связаны соотношениями. Предел отношенияпри
будет называться производной функции
в точке
по направлениюи обозначаться.

=

Если функция Zдифференцируема в точке
, то ее приращение в этой точке с учетом соотношений для
может быть записано в следующей форме.

поделив обе части на

и переходя к пределу при
получим формулу для производной функции Z= f(х; у) по направлению:

1. Градиент

Рассмотрим функцию трех переменных
дифференцируемой в некоторой точке
.

Градиентом этой функции
в точке М называется вектор, координаты которого равны соответственно частным производным
в этой точке. Для обозначения градиента используют символ
.
=
.

.Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке.

Поскольку единичный вектор имеет координаты (
), то производная по направлению для случая функции трех переменных записывается в виде, т.е.имеет формулу скалярного произведения векторови
. Перепишем последнюю формулу в следующем виде:

, где- угол между вектороми
. Поскольку
, то отсюда следует, что производная функции по направлению принимаетmaxзначение при=0, т.е. когда направление векторови
совпадают. При этом
.Т.е., на самом деле градиент функции характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в точке.

1. Экстремум функции двух переменных

Понятия max,min, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной переменной. Пусть функция Z= f(x; у) определена в некоторой областиDи т. М
принадлежит к этой области. Точка М
называется точкойmaxфункции Z= f(x; у), если существует такая δ-окрестность точки
, что для каждой точки из этой окрестности выполняется неравенство
. Аналогичным образом определяется и точкаmin, только знак неравенства при этом изменится
. Значение функции в точкеmax(min) называется максимумом (минимумом). Максимум и минимум функции называются экстремумами.

1. Необходимые и достаточные условия экстремума

Теорема: (Необходимые условия экстремума). Если в точке М
дифференцируемая функция Z= f(x; у) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:
,
.

Доказательство: зафиксировав одну из переменныхxилиy, ревратим Z= f(x; у) в функцию одной переменной, для экстремума которой вышеописанные условия должны выполняться. Геометрически равенства
и
означают, что в точке экстремума функции Z= f(x; у), касательная плоскость к поверхности, изображающую функциюf(x,y)=Zпараллельна плоскостиOXY, т.к. уравнение касательной плоскости естьZ=Z 0. Точка, в которой частные производные первого порядка функции Z= f(x; у) равны нулю, т.е.
,
, называются стационарной точкой функции. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. НапримерZ=|-
| имеетmaxв точкеO(0,0), но не имеет в этой точке производных.

Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Например, приZ=xyточкаO(0,0) является критической. Однако экстремума в ней функцияZ=xyне имеет. (Т.к. вIиIIIчетвертяхZ>0, а вIIиIV–Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Теорема : (Достаточное условие экстремумов). Пусть в стационарной точке
и некоторой окрестности функция f(x; у) имеет непрерывные частные производные до 2 ого порядка включительно. Вычислим в точке
значения
,
и
. Обозначим

В случае если
, экстремум в точке
может быть, а может и не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Несомненно, в нашем сознании образ функции ассоциируется с равенством и соответствующей ему линией – графиком функции. Например, - функциональная зависимость, графиком которой является квадратичная парабола с вершиной в начале координат и направленными вверх ветвями; - функция синуса, известная своими волнами.

В этих примерах в левой части равенства находится y , а в правой части – выражение, зависящее от аргумента x . Другими словами, имеем уравнение, разрешенное относительно y . Представление функциональной зависимости в виде такого выражения называется явным заданием функции (или функцией в явном виде ). И этот тип задания функции является для нас наиболее привычным. В большинстве примеров и задач нам предстают именно явные функции. Про дифференцирование функций одной переменной, заданных в явном виде, мы уже в деталях поговорили.

Однако, функция подразумевает соответствие между множеством значений величины x и множеством значений y , причем это соответствие НЕ обязательно устанавливается какой-либо формулой или аналитическим выражением. То есть, существует множество способов задания функции помимо привычного .

В данной статье мы рассмотрим неявные функции и способы нахождения их производных . В качестве примеров функций, заданных неявно, можно привести или .

Как Вы заметили, неявная функция определяется соотношением . Но не все такие соотношения между x и y задают функцию. Например, ни одна пара действительных чисел x и y не удовлетворяет равенству , следовательно, это соотношение неявную функцию не задает.

Может неявно определять закон соответствия между величинами x и y , причем каждому значению аргумента x может соответствовать как одно (в этом случае имеем однозначную функцию) так и несколько значений функции (в этом случае функцию называют многозначной). К примеру, значению x = 1 соответствует два действительных значения y = 2 и y = -2 неявно заданной функции .

Неявную функцию привести к явному виду далеко не всегда возможно, иначе не пришлось бы дифференцировать сами неявные функции. Например, - не преобразовывается к явному виду, а - преобразовывается.

Теперь к делу.

Чтобы найти производную неявно заданной функции, необходимо продифференцировать обе части равенства по аргументу x , считая y – функцией от x , и после этого выразить .

Дифференцирование выражений, содержащих x и y(x) , проводится с использованием правил дифференцирования и правила нахождения производной сложной функции . Давайте сразу подробно разберем несколько примеров, чтобы дальше не было вопросов.

Пример.

Продифференцировать выражения по x , считая y функцией от x .

Решение.

Так как y – это функция от x , то - это сложная функция. Ее можно условно представить как f(g(x)) , где f – функция возведения в куб, а g(x) = y . Тогда, по формуле производной сложной функции имеем: .

При дифференцировании второго выражения выносим константу за знак производной и действуем как в предыдущем случае (здесь f – функция синуса, g(x) = y ):

Для третьего выражения применяем формулу производной произведения:

Последовательно применяя правила, продифференцируем последнее выражение:

Вот теперь можно переходить к нахождению производной неявно заданной функции, для этого все знания есть.

Пример.

Найти производную неявной функции .

Решение.

Производная неявно заданной функции всегда представляется в виде выражения, содержащего x и y : . Чтобы прийти к такому результату, продифференцируем обе части равенства:

Разрешим полученное уравнение относительно производной:

Ответ:

.

ЗАМЕЧАНИЕ.

Для закрепления материала решим еще пример.

Очень часто при решении практических задач (например, в высшей геодезии или аналитической фотограмметрии) появляются сложные функции нескольких переменных, т. е. аргументы x, y, z одной функцииf (x,y,z) ) сами являются функциями от новых переменныхU, V, W ).

Так, например, бывает при переходе от неподвижной системы координат Oxyz в подвижную системуO 0 UVW и обратно. При этом важно знать все частные производные по "неподвижным" - "старым" и "подвижным" - "новым" переменным, так как эти частные производные обычно характеризуют положение объекта в этих системах координат, и, в частности, влияют на соответствие аэрофотоснимков реальному объекту. В таких случаях применяются следующие формулы:

То есть задана сложная функцияT трех "новых" переменныхU, V, W посредством трёх "старых" переменныхx, y, z, тогда:

Замечание. Возможны вариации в количестве переменных. Например: если

В частности, еслиz = f(xy), y = y(x) , то получаем так называемую формулу "полной производной":

Эта же формула "полной производной" в случае:

примет вид:

Возможны и иные вариации формул (1.27) - (1.32).

Замечание: формула "полной производной" используется в курсе физики, раздел "Гидродинамика" при выводе основополагающей системы уравнений движения жидкости.

Пример 1.10. Дано:

Согласно (1.31):

§7 Частные производные неявно заданной функции нескольких переменных

Как известно, неявно заданная функция одной переменной определяется так: функция у независимой переменной x называется неявной, если она задана уравнением, не разрешенным относительноy :

Пример 1.11.

Уравнение

неявно задаёт две функции:

А уравнение

не задаёт никакой функции.

Теорема 1.2 (существования неявной функции).

Пусть функция z =f(х,у) и ее частные производныеf" x иf" y определены и непрерывны в некоторой окрестностиU M0 точкиM 0 (x 0 y 0 ) . Кроме того,f(x 0 ,y 0 )=0 иf"(x 0 ,y 0 )≠0 , тогда уравнение (1.33) определяет в окрестностиU M0 неявную функциюy= y(x) , непрерывную и дифференцируемую в некотором интервалеD с центром в точке x 0 , причемy(x 0 )=y 0 .

Без доказательства.

Из теоремы 1.2 следует, что на этом интервале D :

то- есть имеет место тождество по

где "полная" производная находится согласно (1.31)

То есть (1.35) дает формулу нахождения производной неявно заданной функции одной переменной x .

Аналогично определяется и неявная функция двух и более переменных.

Например, если в некоторой области V пространстваOxyz выполняется уравнение:

то при некоторых условиях на функцию F оно неявно задаёт функцию

При этом по аналогии с (1.35) ее частные производные находятся так:

Пример 1.12. Считая, что уравнение

неявно задаёт функцию

найти z" x , z" y .

поэтому согласно (1.37) получаем ответ.

§8 Частные производные второго и более высоких порядков

Определение 1.9 Частные производные второго порядка функции z=z(x,y) определяются так:

Их оказалось четыре. Причем, при некоторых условиях на функции z(x,y) выполняется равенство:

Замечание. Частные производные второго порядка могут обозначаться и так:

Определение 1.10 Частных производных третьего порядка - восемь (2 3).