§6 Частные производные сложных функций нескольких переменных. Производная функции, заданной неявно Дифференцирование неявной функции нескольких переменных

Будем учиться находить производные функций, заданных неявно, то есть заданных некоторыми уравнениями, связывающими между собой переменные x и y . Примеры функций, заданных неявно:

,

Производные функций, заданных неявно, или производные неявных функций, находятся довольно просто. Сейчас же разберём соответствующее правило и пример, а затем выясним, для чего вообще это нужно.

Для того, чтобы найти производную функции, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения по иксу. Те слагаемые, в которых присутствует только икс, обратятся в обычную производную функции от икса. А слагаемые с игреком нужно дифференцировать, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, так как игрек - это функция от икса. Если совсем просто, то в полученной производной слагаемого с иксом должно получиться: производная функции от игрека, умноженная на производную от игрека. Например, производная слагаемого запишется как , производная слагаемого запишется как . Далее из всего этого нужно выразить этот "игрек штрих" и будет получена искомая производная функции, заданной неявно. Разберём это на примере.

Пример 1.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу, считая, что игрек - функция от икса:

Отсюда получаем производную, которая требуется в задании:

Теперь кое-что о неоднозначном свойстве функций, заданных неявно, и почему нужны особенные правила их дифференцирования. В части случаев можно убедиться, что подстановка в заданное уравнение (см. примеры выше) вместо игрека его выражения через икс приводит к тому, что это уравнение обращается в тождество. Так. приведённое выше уравнение неявно определяет следующие функции:

После подстановки выражения игрека в квадрате через икс в первоначальное уравнение получаем тождество:

.

Выражения, которые мы подставляли, получились путём решения уравнения относительно игрека.

Если бы мы стали дифференцировать соответствующую явную функцию

то получили бы ответ как в примере 1 - от функции, заданной неявно:

Но не всякую функцию, заданную неявно, можно представить в виде y = f (x ) . Так, например, заданные неявно функции

не выражаются через элементарные функции, то есть эти уравнения нельзя разрешить относительно игрека. Поэтому и существует правило дифференцирования функции, заданной неявно, которое мы уже изучили и далее будем последовательно применять в других примерах.

Пример 2. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Выражаем игрек штрих и - на выходе - производная функции, заданной неявно:

Пример 3. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

.

Пример 4. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

.

Выражаем и получаем производную:

.

Пример 5. Найти производную функции, заданной неявно:

Решение. Переносим слагаемые в правой части уравнение в левую часть и справа оставляем ноль. Дифференцируем обе части уравнения по иксу.

Пусть непрерывная функция у от х задаётся неявно F (x , y ) = 0, где F (x , y ), F " x (x , y ), F " y (x , y ) есть непрерывные функции в некоторой области D, содержащей точку (х , у ), координаты которой удовлетворяют соотношениям F (x , y ) = 0, F " y (x , y ) ≠ 0. Тогда функция у от х имеет производную

Доказательство (смотри рисунок.). Пусть F " y (x , y ) > 0. Так как производная F " y (x , y ) непрерывна, то можно построить квадрат [х 0 - δ" , х 0 + δ" , у 0 - δ" , у 0 + δ" ], чтобы для всех его точек было F " y (x , y ) > 0, то есть F (x , y ) является монотонной по у при фиксированном х . Таким образом, выполнены все условия теоремы существования неявной функции у = f (x ), такой, что F (x , f (x )) º 0.
Зададим приращение Δ х . Новому значению х + Δ х будет соответствовать у + Δ у = f (x + Δ x ), такое, что эти значения удовлетворяют уравнению F (x + Δ x , y + Δ y ) = 0. Очевидно, что

Δ F = F (x + Δ x , y + Δ y ) − F (x , y ) = 0

и в этом случае

.

Из (7) имеем

.

Так как неявная функция у = f (x ) будет непрерывна, то Δ у → 0 при Δ х → 0, значит α → 0 и β → 0. Откуда окончательно имеем

.

Что и требовалось доказать.

Частные производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть частные производные функции z = f (x , y ), определенной в окрестности точки М, существуют в каждой точке этой окрестности. В этом случае частные производные представляют собой функции двух переменных х и у , определенные в указанной окрестности точки М. Назовем их частными производными первого порядка. В свою очередь, частные производные по переменным х и у от функций в точке М, если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции f (М ) в этой точке и обозначаются следующими символами

Частные производные второго порядка вида , , называются смешенными частными производными.

Дифференциалы высших порядков

Будем рассматривать dx в выражении для dy как постоянный множитель.Тогда функция dy представляет собой функцию только аргумента x и ее дифференциал в точке x имеет вид (при рассмотрении дифференциала от dy будем использовать новые обозначения для дифференциалов):

δ (d y ) = δ [f " (x ) d x ] = [f " (x ) d x ] " δ x = f "" (x ) d (x ) δx .

Дифференциал δ (d y ) от дифференциала dy в точке x , взятый при δx = dx , называется дифференциалом второго порядка функции f (x ) в точке x и обозначается d 2 y , т.е.

d 2 y = f ""(x )·(dx ) 2 .

В свою очередь, дифференциал δ(d 2 y ) от дифференциала d 2 y , взятый при δx = dx , называется дифференциалом третьего порядка функции f (x ) и обозначается d 3 y и т.д. Дифференциал δ(d n-1 y) от дифференциала d n -1 f , взятый при δx = dx , называется дифференциалом n - го порядка (или n - м дифференциалом) функции f (x ) и обозначается d n y .
Докажем, что для n - го дифференциала функции справедлива формула

d n y = y (n ) ·(dx ) n , n = 1, 2, … (3.1)

При доказательстве воспользуемся методом математической индукции. Для n = 1 и n = 2 формула (3.1) доказана. Пусть она верна для дифференциалов порядка n - 1

d n −1 y = y (n −1) ·(dx ) n −1 ,

и функция y (n -1) (x ) дифференцируема в некоторой точке x . Тогда

Полагая δx = dx , получаем

что и требовалось доказать.
Для любого n справедливо равенство

или

т.е. n - я производная функции y = f (x ) в точке x равна отношению n - го дифференциала этой функции в точке x к n - й степени дифференциала аргумента.

Производная по направлению функций нескольких переменных.

Рассматривается функция и единичный вектор . Проводится прямая l через т.М 0 с направляющим вектором

Определение 1. Производная функции u = u (x , y , z ) по переменной t называется производной по направлению l

Так как на этой прямой u – сложная функция одной переменной, то производная по t равна полной производной по t (§ 12).

Она обозначается и равна

Производная функции, заданной неявно.
Производная параметрически заданной функции

В данной статье мы рассмотрим еще два типовых задания, которые часто встречаются в контрольных работах по высшей математике. Для того чтобы успешно освоить материал, необходимо уметь находить производные хотя бы на среднем уровне. Научиться находить производные практически с нуля можно на двух базовых уроках и Производная сложной функции . Если с навыками дифференцирования всё в порядке, тогда поехали.

Производная функции, заданной неявно

Или короче – производная неявной функции. Что такое неявная функция? Давайте сначала вспомним само определение функции одной переменной :

Функция одной переменной –это правило, по которому каждому значению независимой переменной соответствует одно и только одно значение функции .

Переменная называется независимой переменной или аргументом .
Переменная называется зависимой переменной или функцией .

До сих пор мы рассматривали функции, заданные в явном виде. Что это значит? Устроим разбор полётов на конкретных примерах.

Рассмотрим функцию

Мы видим, что слева у нас одинокий «игрек», а справа – только «иксы» . То есть, функция в явном виде выражена через независимую переменную .

Рассмотрим другую функцию:

Здесь переменные и расположены «вперемешку». Причем никакими способами невозможно выразить «игрек» только через «икс». Что это за способы? Перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, вынесение за скобки, перекидывание множителей по правилу пропорции и др. Перепишите равенство и попробуйте выразить «игрек» в явном виде: . Можно крутить-вертеть уравнение часами, но у вас этого не получится.

Разрешите познакомить: – пример неявной функции .

В курсе математического анализа доказано, что неявная функция существует (однако не всегда), у неё есть график (точно так же, как и у «нормальной» функции). У неявной функции точно так же существует первая производная, вторая производная и т.д. Как говорится, все права секс-меньшинств соблюдены.

И на этом уроке мы научимся находить производную от функции, заданной неявно. Это не так сложно! Все правила дифференцирования, таблица производных элементарных функций остаются в силе. Разница в одном своеобразном моменте, который мы рассмотрим прямо сейчас.

Да, и сообщу хорошую новость – рассмотренные ниже задания выполняются по довольно жесткому и чёткому алгоритму без камня перед тремя дорожками.

Пример 1

1) На первом этапе навешиваем штрихи на обе части:

2) Используем правила линейности производной (первые два правила урока Как найти производную? Примеры решений ):

3) Непосредственное дифференцирование.
Как дифференцировать и совершенно понятно. Что делать там, где под штрихами есть «игреки»?

– просто до безобразия, производная от функции равна её производной : .

Как дифференцировать
Здесь у нас сложная функция . Почему? Вроде бы под синусом всего одна буква «игрек». Но, дело в том, что всего одна буква «игрек» – САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ (см. определение в начале урока). Таким образом, синус – внешняя функция, – внутренняя функция. Используем правило дифференцирования сложной функции :

Произведение дифференцируем по обычному правилу :

Обратите внимание, что – тоже сложная функция, любой «игрек с наворотами» – сложная функция :

Само оформление решения должно выглядеть примерно так:


Если есть скобки, то раскрываем их:

4) В левой части собираем слагаемые, в которых есть «игрек» со штрихом. В правую часть – переносим всё остальное:

5) В левой части выносим производную за скобки:

6) И по правилу пропорции сбрасываем эти скобки в знаменатель правой части:

Производная найдена. Готово.

Интересно отметить, что в неявном виде можно переписать любую функцию. Например, функцию можно переписать так: . И дифференцировать её по только что рассмотренному алгоритму. На самом деле фразы «функция, заданная в неявном виде» и «неявная функция» отличаются одним смысловым нюансом. Фраза «функция, заданная в неявном виде» более общая и корректная, – эта функция задана в неявном виде, но здесь можно выразить «игрек» и представить функцию в явном виде. Под словами же «неявная функция» чаще понимают «классическую» неявную функцию, когда «игрек» выразить нельзя.

Следует также отметить, что «неявное уравнение» может неявно задавать сразу две или даже бОльшее количество функций, так, например, уравнение окружности неявно задаёт функции , , которые определяют полуокружности.Но, в рамках данной статьи, мы не будем делать особого различия между терминами и нюансами, это была просто информация для общего развития.

Второй способ решения

Внимание! Со вторым способом можно ознакомиться только в том случае, если Вы умеете уверенно находить частные производные . Начинающие изучать математический анализ и чайники, пожалуйста, не читайте и пропустите этот пункт , иначе в голове будет полная каша.

Найдем производную неявной функции вторым способом.

Переносим все слагаемые в левую часть:

И рассматриваем функцию двух переменных:

Тогда нашу производную можно найти по формуле
Найдем частные производные:

Таким образом:

Второй способ решения позволяет выполнить проверку. Но оформлять им чистовой вариант задания нежелательно, поскольку частные производные осваивают позже, и студент, изучающий тему «Производная функции одной переменной», знать частные производные как бы еще не должен.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 2

Найти производную от функции, заданной неявно

Навешиваем штрихи на обе части:

Используем правила линейности:

Находим производные:

Раскрываем все скобки:

Переносим все слагаемые с в левую часть, остальные – в правую часть:

Окончательный ответ:

Пример 3

Найти производную от функции, заданной неявно

Полное решение и образец оформления в конце урока.

Не редкость, когда после дифференцирования возникают дроби. В таких случаях от дробей нужно избавляться. Рассмотрим еще два примера.

Пример 4

Найти производную от функции, заданной неявно

Заключаем обе части под штрихи и используем правило линейности:

Дифференцируем, используя правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования частного :

Раскрываем скобки:

Теперь нам нужно избавиться от дроби. Это можно сделать и позже, но рациональнее сделать сразу же. В знаменателе дроби находится . Умножаем на . Если подробно, то выглядеть это будет так:

Иногда после дифференцирования появляется 2-3 дроби. Если бы у нас была еще одна дробь, например, , то операцию нужно было бы повторить – умножить каждое слагаемое каждой части на

В левой части выносим за скобку:

Окончательный ответ:

Пример 5

Найти производную от функции, заданной неявно

Это пример для самостоятельного решения. Единственное, в нём, перед тем как избавиться от дроби, предварительно нужно будет избавиться от трехэтажности самой дроби. Полное решение и ответ в конце урока.

Производная параметрически заданной функции

Не напрягаемся, в этом параграфе тоже всё достаточно просто. Можно записать общую формулу параметрически заданной функции, но, для того, чтобы было понятно, я сразу запишу конкретный пример. В параметрической форме функция задается двумя уравнениями: . Частенько уравнения записывают не под фигурными скобками, а последовательно: , .

Переменная называется параметром и может принимать значения от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Рассмотрим, например, значение и подставим его в оба уравнения: . Или по человечески: «если икс равен четырем, то игрек равно единице». На координатной плоскости можно отметить точку , и эта точка будет соответствовать значению параметра . Аналогично можно найти точку для любого значения параметра «тэ». Как и для «обычной» функции, для американских индейцев параметрически заданной функции все права тоже соблюдены: можно построить график, найти производные и т.д. Кстати, если есть надобность построить график параметрически заданной функции, можете воспользоваться моей программой .

В простейших случаях есть возможность представить функцию в явном виде. Выразим из первого уравнения параметр: – и подставим его во второе уравнение: . В результате получена обыкновенная кубическая функция.

В более «тяжелых» случаях такой фокус не прокатывает. Но это не беда, потому что для нахождения производной параметрической функции существует формула:

Находим производную от «игрека по переменной тэ»:

Все правила дифференцирования и таблица производных справедливы, естественно, и для буквы , таким образом, какой-то новизны в самом процессе нахождения производных нет . Просто мысленно замените в таблице все «иксы» на букву «тэ».

Находим производную от «икса по переменной тэ»:

Теперь только осталось подставить найденные производные в нашу формулу:

Готово. Производная, как и сама функция, тоже зависит от параметра .

Что касается обозначений, то в формуле вместо записи можно было просто записать без подстрочного индекса, поскольку это «обычная» производная «по икс». Но в литературе всегда встречается вариант , поэтому я не буду отклоняться от стандарта.

Пример 6

Используем формулу

В данном случае:

Таким образом:

Особенностью нахождения производной параметрической функции является тот факт, что на каждом шаге результат выгодно максимально упрощать . Так, в рассмотренном примере при нахождении я раскрыл скобки под корнем (хотя мог этого и не делать). Велик шанс, что при подстановке и в формулу многие вещи хорошо сократятся. Хотя встречаются, конечно, примеры и с корявыми ответами.

Пример 7

Найти производную от функции, заданной параметрически

Это пример для самостоятельного решения.

В статье Простейшие типовые задачи с производной мы рассматривали примеры, в которых требовалось найти вторую производную функции. Для параметрически заданной функции тоже можно найти вторую производную, и находится она по следующей формуле: . Совершенно очевидно, что для того чтобы найти вторую производную, нужно сначала найти первую производную.

Пример 8

Найти первую и вторую производные от функции, заданной параметрически

Сначала найдем первую производную.
Используем формулу

В данном случае:

Известно, что функция y= f(x)может быть задана неявно с помощью уравнения, связывающем переменные х и у:

F(x,y) =0.

Сформулируем условия, при которых уравнение F(x,y )=0 определяет одну из переменных как функция другой. Справедлива следующая

Теорема (существования неявной функции) Пусть функция F(x,y )=0 удовлетворяет следующим условиям:

1) существует точка P˳(х˳,у˳), в которой F(x˳,y˳)=0

2) F’y(x˳,y˳)≠ 0

3) функции F’x (x ,y )и F’y (x ,y ) непрерывны в некоторой окрестности точки

P 0 (x 0 ,y 0).

Тогда существует единственная функция y =f (x), определенная на некотором интервале, содержащем точку, и удовлетворяющая при любом х из этого интервала уравнениюF(x,y)=0 , такая что f(x 0)= y0

Если у есть неявная функция от х , то есть она определяется из уравнения F (х , у ) = 0, то, предполагая, что у есть функция от х , мы получаем тождество F (х , у (х )) = 0, которое можно рассматривать как константу-функцию. Дифференцируя эту константу-функцию, получим:

Если в этом соотношении , то можно найти .

Дифференцируя соотношение (1) ещё раз, получим:

Соотношение (2) можно рассматривать как уравнение для определения второй производной. Дифференцируя соотношение (2) ещё раз, получим уравнение для определения третьей производной и т. д.

Производная по направлению. Вектор направления для случая двух и трех переменных (направляющие косинусы). Приращение функции по заданному направлению. Определение производной по направлению, ее выражение через частные производные. Градиент функции. Взаимное положение градиента и линии уровня в данной точке для функции двух переменных.

Производной z’I по направлению I функции двух переменных z=f(x;y) называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения ∆I при стремлении последней к 0: z’i=lim∆iz /∆I

Производная z’ I характеризует скорость изменения функции в направлении i.

Если функция z=f(x;y) имеет в точке М(x;y) непрерывные частные производные, то в этой точке существует производная по любому направлению, исходящему из точки М(x;y), которая вычисляется по формуле z’i=z’xˑcosα+z"yˑcosβ,где cosα, cosβ- направляющие к4осинусы вектора .

Градиентом функции z=f(x,y) называется вектор с координатами f’x, f’y. Обозначается z=(f’x,f’y) или .

Производная по направлению равна скалярному произведению градиента и единичного вектора, задающего направление I.

Вектор z в каждой точке направлен по нормали к линии уровня, проходящей через данную точку в сторону возрастания функции.

Частные производные f’x и f’y представляют собой производные функции z=f(x,y) по двум частным направлениям осей Ox и Oу.

Пусть z=f(x,y)- дифференцируемая функция в некоторой области D, M(x,y) . Пусть I – некоторое направление (вектор с началом в точке М),а =(cosα;cosβ).

При перемещении в данном направлении I точки М(х,у) в точку М1(х+∆х;y+∆y) функция z получит приращение ∆iz=f(x+∆х;y+∆y)-f(x;y) называемое приращением функции z в данном направлении I.

Если MM1=∆I то ∆x=∆icosα, ∆y=∆icosβ, следовательно, ∆iz=f(x+∆icosα; y+∆icosβ)-f(x;y).

Формула производной функции, заданной неявно. Доказательство и примеры применения этой формулы. Примеры вычисления производных первого, второго и третьего порядка.

Содержание

Производная первого порядка

Пусть функция задана неявным образом с помощью уравнения
(1) .
И пусть это уравнение, при некотором значении , имеет единственное решение . Пусть функция является дифференцируемой функцией в точке , причем
.
Тогда, при этом значении , существует производная , которая определяется по формуле:
(2) .

Доказательство

Для доказательства рассмотрим функцию как сложную функцию от переменной :
.
Применим правило дифференцирования сложной функции и найдем производную по переменной от левой и правой частей уравнения
(3) :
.
Поскольку производная от постоянной равна нулю и , то
(4) ;
.

Формула доказана.

Производные высших порядков

Перепишем уравнение (4), используя другие обозначения:
(4) .
При этом и являются сложными функциями от переменной :
;
.
Зависимость определяет уравнение (1):
(1) .

Находим производную по переменной от левой и правой части уравнения (4).
По формуле производной сложной функции имеем:
;
.
По формуле производной произведения :

.
По формуле производной суммы :


.

Поскольку производная правой части уравнения (4) равна нулю, то
(5) .
Подставив сюда производную , получим значение производной второго порядка в неявном виде.

Дифференцируя, аналогичным образом, уравнение (5), мы получим уравнение, содержащее производную третьего порядка :
.
Подставив сюда найденные значения производных первого и второго порядков, найдем значение производной третьего порядка.

Продолжая дифференцирование, можно найти производную любого порядка.

Примеры

Пример 1

Найдите производную первого порядка от функции, заданной неявно уравнением:
(П1) .

Решение по формуле 2

Находим производную по формуле (2):
(2) .

Перенесем все переменные в левую часть, чтобы уравнение приняло вид .
.
Отсюда .

Находим производную по , считая постоянной.
;
;
;
.

Находим производную по переменной , считая переменную постоянной.
;
;
;
.

По формуле (2) находим:
.

Мы можем упростить результат если заметим, что согласно исходному уравнению (П.1), . Подставим :
.
Умножим числитель и знаменатель на :
.

Решение вторым способом

Решим этот пример вторым способом. Для этого найдем производную по переменной левой и правой частей исходного уравнения (П1).

Применяем :
.
Применяем формулу производной дроби :
;
.
Применяем формулу производной сложной функции :
.
Дифференцируем исходное уравнение (П1).
(П1) ;
;
.
Умножаем на и группируем члены.
;
.

Подставим (из уравнения (П1)):
.
Умножим на :
.

Пример 2

Найти производную второго порядка от функции , заданной неявно с помощью уравнения:
(П2.1) .

Дифференцируем исходное уравнение, по переменной , считая что является функцией от :
;
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.

Дифференцируем исходное уравнение (П2.1):
;
.
Из исходного уравнения (П2.1) следует, что . Подставим :
.
Раскрываем скобки и группируем члены:
;
(П2.2) .
Находим производную первого порядка:
(П2.3) .

Чтобы найти производную второго порядка, дифференцируем уравнение (П2.2).
;
;
;
.
Подставим выражение производной первого порядка (П2.3):
.
Умножим на :

;
.
Отсюда находим производную второго порядка.

Пример 3

Найти производную третьего порядка при от функции , заданной неявно с помощью уравнения:
(П3.1) .

Дифференцируем исходное уравнение по переменной считая, что является функцией от .
;
;
;
;
;
;
(П3.2) ;

Дифференцируем уравнение (П3.2) по переменной .
;
;
;
;
;
(П3.3) .

Дифференцируем уравнение (П3.3).
;
;
;
;
;
(П3.4) .

Из уравнений (П3.2), (П3.3) и (П3.4) находим значения производных при .
;
;
.